「立方数」の版間の差分
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'''立方数'''（りっぽうすう）とは、ある[[自然数]]の三乗（立方）に
個数が立方数である点を縦、横、高さの三方向に等間隔に並べることで[[正六面体]]（立方体）の形を作れる
▲例：[[1]], [[8]], [[27]], [[64]], [[125]], [[216]], [[343]], [[512]], [[729]], [[1000]], [[1331]], [[1728]], [[2197]], [[2744]], [[3375]], [[4096]], [[4913]], [[5832]], [[6859]], [[8000]]…
==立方数の性質==
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:<math>\sum_{k=1}^n k^3 = 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 = ( 1 + 2 + 3 + ... + n )^2</math>
これは、1から''n''番目までの立方数の和が、1から''n''までの自然数の和の二乗に等しいことを意味している。
1を除く全ての立方数は、2つの[[平方数]]の差として表される。▼
:<math>n^3={\sum_{k=1}^n k^3} - \sum_{k=1}^{n-1} k^3 = \left\{ {n(n+1) \over 2} \right\}^2 - \left\{ {n(n-1) \over 2} \right\}^2 \quad n \geqq 2</math>▼
立方数の[[逆数]]和は[[収束]]し、次のように表される。
:<math>\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3} = \frac{2\pi^2}{7} \log 2 + \frac{16}{7} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \log (\sin x) dx</math>
この値は 1.202056903159594… であり、[[アペリーの定数]]とよばれる。
▲1を除く全ての立方数は、2つの[[平方数]]の差として表される。
▲:<math>n^3=\left\{ {n(n+1) \over 2} \right\}^2 - \left\{ {n(n-1) \over 2} \right\}^2</math>
すべての自然数は、9個以下の立方数の和として表される（[[ウェアリングの問題]]）。このうち丁度9個使用するものは、[[23]]と[[239]]だけである。
2通りの方法で、2つの立方数の和として表される最小の自然数は、1729= 12<sup>3</sup> + 1<sup>3</sup> = 10<sup>3</sup> + 9<sup>3</sup> である。
立方数を2つの立方数の和として表すことはできない。（→[[フェルマーの最終定理]]）
<!--連続する立方数の和が立方数になるのは、3<sup>3</sup>+4<sup>3</sup>+5<sup>3</sup>=6<sup>3</sup> の時だけである。-->
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