「線型結合」の版間の差分
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'''線
いくつかの[[ベクトル]]を組み合わせると他のベクトルを作ることができる。
例えば、2次元[[数ベクトル]]を例にとれば、ベクトル '''v''' = (2, 3) と '''w''' = (1, 2) を用いて 2'''v''' + 3'''w''' のようにすれば、(7, 12) というベクトルを作ることができる。
このように、いくつかのベクトルを何倍かしたものを足し合わせたものを、それらのベクトルの'''線
== 定義 ==
:<math>k_1 v_1 + k_2 v_2 + \cdots + k_r v_r</math>
を、ベクトル ''v''<sub>1</sub>, ''v''<sub>2</sub>, ..., ''v''<sub>''r''</sub> の（''k''<sub>1</sub>, ''k''<sub>2</sub>, ..., ''k''<sub>''r''</sub> を係数とする）'''線型結合'''という。ベクトル ''v''<sub>1</sub>, ''v''<sub>2</sub>, ..., ''v''<sub>''r''</sub> を変数と見たときの斉一次式であるので'''一次結合'''とも呼ぶ。
==
===
:<math>
が満たされるのが、全ての係数 ''k''<sub>''i''</sub> (''i'' = 1, 2, ..., ''n'') が 0 の場合のみに限られるとき線型独立といい、そうでないとき線型従属であるということができる。あるいは同じことだが、与えられた幾つかのベクトルが、互いに他のベクトルの線型結合では表せないとき、これらは'''線型独立'''であるといい、線型独立でないことを'''線型従属'''という。
▲を、ベクトル '''v'''<sub>1</sub>, '''v'''<sub>2</sub>, ..., '''v'''<sub>''r''</sub> の（''k''<sub>1</sub>, ''k''<sub>2</sub>, ..., ''k''<sub>''r''</sub> を係数とする）'''線形結合'''もしくは '''1 次結合'''という。
=== 生成 ===
▲係数は 0 でも良いし、負でも良いので、'''v'''<sub>1</sub> - '''v'''<sub>2</sub> なども線形結合といえる。
[[体論|体]] ''K'' 上のベクトル空間 ''V'' と、その有限部分集合 ''S'' = {''v''<sub>1</sub>, ''v''<sub>2</sub>, ..., ''v''<sub>''r''</sub>} に対し、''V'' の部分集合で ''S'' を含む最小の部分線型空間となるものを span(''S'') あるいは <''S''> と表すことにすると、それは ''S'' の元からなる一次結合の全体と一致する：
:<math>\operatorname{span}(S) = \langle S \rangle :=
\{k_1 v_1 + k_2 v_2 + \cdots + k_r v_r
\mid k_i \in K,\, v_j \in S
\}.
</math>
これをベクトル ''v''<sub>1</sub>, ''v''<sub>2</sub>, ..., ''v''<sub>''r''</sub> によって'''張られる部分空間'''あるいは ''S'' が ''K'' 上で'''生成する部分空間'''といい、''S'' をこの部分空間の'''生成系'''という。係数を明示して Span<sub>''K''</sub>(''S'') とか <''S''><sub>''K''</sub> のように記すこともある。また、''S'' が無限個のベクトルからなる ''V'' の部分集合であるとき、''S'' の生成する部分空間とは
:<math>\operatorname{span}(S) :=
\{k_1 v_1 + k_2 v_2 + \cdots + k_r v_r
\mid k_i \in K,\, v_j \in S,\, \exists r \in \mathbb{N}
\},
</math>
すなわち、''S'' の有限個のベクトルの線型結合として表されるベクトル全体の成す ''V'' の部分集合となる。
''V'' = span(''S'') となる部分集合 ''S'' のうち極小なものを ''V'' の[[基底]]という。基底の[[基数|濃度]]は常に一定であり、基底の濃度としてベクトル空間の次元が定義される。たとえば、''S'' = {''v''<sub>1</sub>, ''v''<sub>2</sub>, ..., ''v''<sub>''r''</sub>} が線型独立なベクトルからなるならば、''S'' はそれによって張られるベクトル空間 span(''S'') の基底をなし、span(''S'') の[[次元]]は ''r'' となる。
== 一般化 ==
[[環論|環]]上の[[加群]]についても、スカラー倍と和からなる式を考えて一次結合という。二つの環 ''A'', ''B'' に対して[[アーベル群]] ''M'' が (''A'', ''B'')-両側加群であるなら、''M'' の元 ''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, ..., ''x''<sub>''n''</sub> の一次結合は
:<math>a_1 x_1 b_1 + a_2 x_2 b_2 +\cdots+ a_n x_n b_n</math>
(''a''<sub>''i''</sub> ∈ ''A'', ''b''<sub>''j''</sub> ∈ ''B'') という形に書く事ができる。
''V'' が[[位相線型空間]]で ''V'' の無限個の元からなる部分集合 ''S'' を考えるとき、その無限項の "線型結合"
:<math>c_1 v_1 + c_2 v_2 +\cdots</math>
(''c''<sub>''i''</sub> ∈ ''K'', ''v''<sub>''i''</sub> ∈ ''S'', ''i'' = 1, 2, ...) のうち ''V'' の位相に関して収束するものの全体を考えると、それは ''S'' および span(''S'') を含む最小の閉部分空間となる。
== 関連項目 ==
* [[ベクトル空間]]
* [[生成 (数学)]]
{{sci-stub}}
[[Category:代数学|せんけいけつこう]]
[[de:Linearkombination]]
[[en:Linear combination]]
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