「等差数列」の版間の差分
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[[数学]]に言う'''等差数列'''(とうさすうれつ、{{lang|en|sequence of numbers with common difference}}）あるいは'''算術数列'''（さんじゅつすうれつ、{{lang-en|<em>arithmetic progression, arithmetic sequence</em>}})とは、どの隣り合う2つの項も“共通して一定な”差（{{lang|en|common difference}}; '''公差'''）になっている数列のことである。例えば、3, 5, 7, 9, 11, 13... という数列は、どの隣り合う二項も差が 2 になっているので、公差が 2 である等差数列である。
: ここでいう「二項間の差」は、後の番号の項からその一つ前の番号の項を引くという意味の差である。若い番号の項からそのひとつ後の項を引いたものとは、符号が逆になると考えなければならない。隣り合う二項の差の絶対値が一定値であっても、それは公差でも等差数列でもない。
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:<math>S_n = a_1+a_2+\dots+a_n=\frac{n( a_1 + a_n)}{2} =\frac{n[ 2a_1 + (n-1)d ]}{2}</math>
この式は直感的におわかりいただけるだろう。最初の項と最後の項の合計は、2番目の項と最後から2番目の項の合計と同じになり、そのような関係がだいたい<math>n/2</math>個つづくからである。この種の式は、[[ピサのレオナルド]]（一般には[[レオナルド・フィボナッチ|フィボナッチ]]として知られる)が記した[[算盤の書]] ("''Liber Abaci''"; [[1202年]], ch. II.12) に登場する。よく聞かれる逸話として、[[カール・フリードリヒ・ガウス]]がこの式を再発見した話がある。彼が3年生のときに、教師[[J. G. Bütner]]が生徒たちに1から100までの合計を求めさせたところ、彼は即座に答(5050)を出したため、Bütner と助手のMartin Bartels（[[:en:Johann Christian Martin Bartels]]）がいたく驚いた、というものである。
項の数が奇数のときの曖昧さをなくして上のような結果を得るには、項の平均値を考えると良い。等差数列の総和は、全部の項の平均値に項の数を掛けたものになる。全部の項の平均値は、数直線上で両端から均等に間隔があいた <math>(a_1+a_n)/2</math> になることは明らかである。または、
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* [[加法]]
* [[等比数列]]
* [[:en:Generalized arithmetic progression]]
* [[無限等差級数]]
* [[トマス・ロバート・マルサス]]
* [[Problems involving arithmetic progressions|等差数列を含む問題]]
* [[グリーンとタオの定理]]（[[:en:Green–Tao theorem]]）
== 引用文献==
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{{DEFAULTSORT:とうさすうれつ}}
{{math-stub}}
[[Category:数列]]
[[Category:初等数学]]
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