「凸関数」の版間の差分

'''凸関数'''（とはつかんすう、区間convex (またfunction）とは、ある[[ベクトル空区間]]の凸集合 ''C'' (数学)|区間]]で定義された[[実数]]値[[関数 (数学)|関数]] ''f'' で、区間内の任意の二2点 ''x'' と, ''y'' と閉[[区間]] [0, 1]に含まれる 内の任意の ''t'' につい対して、

:{{Indent|<math>f(tx+(1-t)y)\leq t f(x)+(1-t)f(y).\,</math>}}

また-''f'' が凸関数の反対は[[とき、''f'' を'''凹関数]]である'''（おうかんすう、concave function）と呼ぶ。

連続関数 ''f'' が、凸関数を満たせば十分である[[必要十分。この条件]]は、任意凸関数の定義中の不等式で、特に ''xt'' と= ''y''1/2 についての式である。

区間上の一1変数微分可能な関数が、凸関数であるための必要十分条件は、微分が[[単調関数|単調]]非減少]]であることである。

また一1変数二2階微分可能な関数が、凸関数であることの必要十分条件は、二2階微分が非負であることである。また、2階微分が正ならば、狭義凸関数ならば二階微分は正である。この[[逆]]は[[真]]成立しない。例えば、''y'' = ''x''⁴ は狭義凸関数であるが、2階微分は正ではない。

より一般的に、'''C²''' 級関数が、凸関数であるための必要十分条件は、凸集合の内部で、[[ヘッセ行列]]が[[エルミート行列|半正値]]であることである。

''f'' , ''g'' が凸関数であるとき、非負の ''a'' , ''b'' について ''a f'' + ''b g'' は凸関数である。同様に、max{''f'', ''g''} も凸関数である。

凸関数の[[極小値]]は[[最小値]]である。狭義凸関数は最小値を取る点が存在するなら一1点である。

''f'' が凸関数のとき、[[レベル集合]] {''x'' | ''f''(''x'') &lt; ''a''} と {''x'' | ''f''(''x'') &le; ''a''} 　は、任意の ''a'' &isin; '''R''' について凸集合である。

定義域において非負であり、その[[対数]]が凸である関数を'''対数凸関数''' (logarithmically convex function) という。対数凸関数は、それ自体、凸関数である。

*''x''<mathsup>x^2</mathsup> は凸関数であるが、対数凸関数ではない。

*''x''<mathsup>x^3</mathsup> は<math> ''x>'' &gt; 0</math> において凸関数であり、<math>''x<'' &lt; 0</math> において凹関数である。

*[[指数関数]] ''e''<mathsup>e^''x''</mathsup> は凸関数であり、(狭義ではない)対数凸関数である。

*[[ガンマ関数]]<math>\ &Gamma;(''x'')</math> は<math> ''x>'' &gt; 0</math> において対数凸関数である。

*[[絶対値]]関数 |''x''| は ''x'' = 0 で微分不可能であるが凸関数である。

*区間 [0, 1] 上で、''f''(0) = ''f''(1) = 1, 0< &lt; ''x''< &lt; 1のとき ''f''(''x'') =0 0 で定義された ''f'' は不連続であるが、凸関数である。

*[[線形写像]]は凸だが、狭義ではない凸関数であり、狭義ではない。これは凹関数についてでも同様ある。

*[[アフィン写像]]は凸関数かつであり、凹関数でもある。

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