「凸関数」の版間の差分

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[[Image:Convex-function-graph-1.png|thumb|350px|right|凸関数の例(緑の曲線)]]
'''凸関数'''つかんすう区間convex (またfunction)とは、ある[[ベクトル空]]の凸集合 ''C'' (数学)|区間]]で定義された[[実数]]値[[関数 (数学)|関数]] ''f'' で、区間内の任意の2点 ''x'', ''y'' と閉[[区間]] [0, 1]に含まれる 内の任意の ''t'' につい対し
:{{Indent|<math>f(tx+(1-t)y)\leq t f(x)+(1-t)f(y).\,</math>}}
を満たす関数である。
を満たすものをいう。言い換えれば、[[エピグラフ]](グラフ上またはおよびグラフの上部の点の集合)[[凸集合]]である関数である。より一般に、[[ベクトル空間]]の凸集合上定義された関数に対しても同様に定義する。
 
また同様に'''狭義凸関数'''とは、任意の異なる2点 ''x'', ''y'' と開区間 (0, 1)に含まれる 内の任意の ''t'' につい対し
 
:{{Indent|<math>f(tx+(1-t)y) < t f(x)+(1-t)f(y)\,</math>}}
言い換えれば、[[エピグラフ]](グラフ上またはグラフの上部の点の集合)が凸集合である関数である。
 
また同様に'''狭義凸関数'''とは、任意の開区間(0,1)に含まれる任意の ''t'' について
:<math>f(tx+(1-t)y) < t f(x)+(1-t)f(y)\,</math>
を満たす関数である。
 
また-''f'' が凸関数の反対は[[とき、''f'' を'''凹関数]]である'''(おうかんすう、concave function)と呼ぶ
 
== 凸関数の性質 ==
凸開区間 ''C'' で定義された凸関数 ''f'' は[[連続 (数学)|連続]]で、[[高々可算]]個の点を除いて[[微分可能]]である。閉区間の場合は、端で連続でない場合がある。
 
''f'' が連続関数ならば、凸関数であるためには、任意の ''x'' と ''y'' に対して
凸開区間 ''C'' で定義された凸関数 ''f'' は、[[連続]]で、高々可算個の点を除いて[[微分可能]]である。閉区間の場合は、端で連続でない場合がある。
:{{Indent|<math>f\left( \frac{x+y}2 \right) \le \frac{f(x)+f(y)}2 .</math>}}
 
連続関数 ''f'' が、凸関数を満たせば十分である[[必要十分。この条件]]は、任意凸関数の定義中不等式で、特に ''xt'' = ''y''1/2 についての式である。
:<math>f\left( \frac{x+y}2 \right) \le \frac{f(x)+f(y)}2 .</math>
を満たすことである。
 
区間上の1変数微分可能な関数が凸関数であるための必要十分条件は、微分が[[単調関数|単調]]非減少]]であることである。
 
また1変数2階微分可能な関数が、凸関数であることの必要十分条件は、2階微分が非負であることである。また、2階微分が正ならば、狭義凸関数ならば二階微分は正である。この[[逆]]は[[真]]成立しない。例えば、''y'' = ''x''<sup>4</sup> は狭義凸関数あるが、2階微分は正ではない。
 
より一般的に、'''C<sup>2</sup>''' 級関数が、凸関数であるための必要十分条件は、凸集合の内部で、[[ヘッセ行列]]が[[エルミート行列|半正値]]であることである。
 
''f'' , ''g'' が凸関数であるとき、非負の ''a'' , ''b'' について ''a f'' + ''b g'' は凸関数である。同様に、max{''f'', ''g''} も凸関数である。
 
凸関数の[[極小値]]は[[最小値]]である。狭義凸関数は最小値を取る点が存在するなら1点である。
 
''f'' が凸関数のとき、[[レベル集合]] {''x'' | ''f''(''x'') &lt; ''a''} と {''x'' | ''f''(''x'') &le; ''a''}  任意の ''a'' &isin; '''R''' について凸集合である。
 
== 対数凸関数 ==
定義域において非負であり、その[[対数]]が凸である関数を'''対数凸関数''' (logarithmically convex function) という。対数凸関数は、それ自体凸関数である。
 
== 例 ==
*''x''<mathsup>x^2</mathsup> は凸関数であるが、対数凸関数ではない。
*''x''<mathsup>x^3</mathsup> <math> ''x>'' &gt; 0</math> において凸関数であり、<math>''x<'' &lt; 0</math> において凹関数である。
*[[指数関数]] ''e''<mathsup>e^''x''</mathsup> は凸関数であり、(狭義ではない)対数凸関数である。
*[[ガンマ関数]]<math>\ &Gamma;(''x'')</math> <math> ''x>'' &gt; 0</math> において対数凸関数である。
*[[絶対値]]関数 |''x''| ''x'' = 0 で微分不可能であるが凸関数である
*区間 [0, 1] 上で、''f''(0) = ''f''(1) = 1, 0< &lt; ''x''< &lt; 1のとき ''f''(''x'') =0 0 で定義された ''f'' は不連続であるが、凸関数である
*[[線形写像]]は凸だが、狭義ではない凸関数であり、狭義ではない。これは凹関数について同様ある
*[[アフィン写像]]は凸関数かつであり、凹関数でもある
 
== 関連項目 ==
*[[ジェンセンの不等式]]
 
[[Category{{DEFAULTSORT:関数|とつかんすう]]}}
[[Category:数学にする記事|とつかんすう]]
[[Category:数学に関する記事]]
 
[[cs:Konvexnost a konkávnost funkce]]