「Averaged t-matrix Approximation」の版間の差分
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以上から、[[単サイト近似]]での<math> T_{\mathbf{q}}^{eff} </math>は、
:<math> T_{\mathbf{q}}^{eff} \to T_{\mathbf{q}}^{AT} = \left[{\left\langle \tau \right\rangle}^{-1} - B_{\mathbf{q}} \right]^{-1} </math>
となり、<T<sub>00</sub>>は、
:<math> {\left\langle T_{00} \right\rangle}_{0 = A(B)} = \tau_{A(B)} {\left\langle \tau \right\rangle}^{-1} \left\langle T_{00} \right\rangle = {\tau_{A(B)} \over {N {\left\langle \tau \right\rangle} } } \sum_{\mathbf{q}} T_{\mathbf{q}}^{AT} </math>
となる。これは、[[多重散乱理論]]の記事内でT<sub>n</sub>の式が、
:<math> T_n = t_n \left[1 + \tilde{G} \sum_{n \ne m} T_m\right] </math>
と表されるので、
:<math> {\left\langle T_0 \right\rangle}_{0 = A} = t_0^A \left[1 + \tilde{G} \sum_{n \ne 0} \left\langle T_n \right\rangle\right] = t_0^A {\left\langle t_0 \right\rangle}^{-1} \cdot {\left\langle t_0 \right\rangle} \left[1 + \tilde{G} \sum_{n \ne 0} \left\langle T_n \right\rangle\right] = t_0 {\left\langle t_0 \right\rangle}^{-1} {\left\langle T_0 \right\rangle} </math>
から導かれる。この、<math> {\left\langle T_{00} \right\rangle}_{0 = A(B)} </math>を、単サイト近似での[[状態密度]]の表式に代入すると、
:<math> \begin{matrix} & D(E) - D_0(E) & \\ \ & = & - {2 \over {\pi} } \mathrm{Im Tr} \left[x {\tau_{A} \over {N {\left\langle \tau \right\rangle} } } \sum_{\mathbf{q}} T_{\mathbf{q}}^{AT} {d \tau_A^{-1} \over {dE} } + y {\tau_{B} \over {N {\left\langle \tau \right\rangle} } } \sum_{\mathbf{q}} T_{\mathbf{q}}^{AT} {d \tau_B^{-1} \over {dE} } - {1 \over N} \sum_{\mathbf{q}} T_{\mathbf{q}}^{AT} {d B_{\mathbf{q}} \over {dE} } \right] \\ \ & = & - {2 \over {\pi} } \mathrm{Im Tr} \left[{\left\langle \tau \right\rangle}^{-1} \left\{ x \tau_A {d \tau_A^{-1} \over {dE} } + y \tau_B {d \tau_B^{-1} \over {dE} } \right\} \sum_{\mathbf{q}} T_{\mathbf{q}}^{AT} - \sum_{\mathbf{q}} T_{\mathbf{q}}^{AT} {d B_{\mathbf{q}} \over {dE} }\right] \\ \ & = & {2 \over {\pi} } \mathrm{Im Tr} \sum_{\mathbf{q}} T_{\mathbf{q}}^{AT} \left[{\left\langle \tau \right\rangle}^{-1} \left\{ x \tau_A {d \tau_A^{-1} \over {dE} } + y \tau_B {d \tau_B^{-1} \over {dE} } \right\} + {d B_{\mathbf{q}} \over {dE} }\right] \end{matrix} </math>
となる。これが<b>ATA</b>における電子の状態密度の表式である。Imは複素数の虚数部分を取ること、Trはトレース（跡）を取ることである。
22行目:
:<math> D(E) = \sum_{\mathbf{q}} a (\mathbf{q}, E) </math>
従って、スペクトル密度の表式は、
:<math> a (\mathbf{q}, E) = {2 \over {\pi} } \mathrm{Im Tr} T_{\mathbf{q}}^{AT} \left[{\left\langle \tau \right\rangle}^{-1} \left\{ x \tau_A {d \tau_A^{-1} \over {dE} } + y \tau_B {d \tau_B^{-1} \over {dE} } \right\} + {d B_{\mathbf{q}} \over {dE} }\right] </math>
となる。ここで、<b>q</b>を[[k点]]に対応させると、スペクトル密度から[[バンド構造]]（E-k曲線）が得られる。
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