「素集合」の版間の差分

2つの集合が'''交わりを持たない''' {{lang|en|(disjoint)}} あるいは'''互いに素集合'''（[[英語たがいにそ、{{lang-en|英]]:mutually disjoint sets）}}）であるとは、それらが共通の元を持たなぬことをい複数の[[う。一般に、与えられた集合[[族 (数学)|族]]が'''互いに素'''（{{lang-en|pairwise disjoint}}）、またあるいは'''素集合'''系（それらからなしゅうごうけい、{{lang-en|''disjoint sets''}}）であるとは、とは、その集合族に含まれるどの2つの集まり合をえらんでも、それらの選び方に依らずそれらが常に共通部分を持たないことをいう。例えば、{1, 2, 3} と {4, 5, 6} は素集合である。{1, 2, 3} と {4, 5, 6} は'''互いに素''' (pairwise disjoint, mutually disjoint) である、とも言い表す。

2つの集合 ''A'' と ''B'' が'''互いに素'''であるとは、それらの[[積集合|共通部分]]が[[空集合]]であること、すなわち、

:<math>A\cap B = \varnothing\,</math>

この定義は任意の個数の集合に拡張できる。集合[[族 (数学)|族]]が'''互いに素'''であるとは、その集合族に含まれる、任意どの2つの（異なる）集合が素集合であるも共通部分を持たないことをいう。添字集合 つまり、''I'' があり、を添字集合として ''I'' の元であるそれぞれの元 ''i'' について、''A''_''i'' という集合があ対応しているとする。このとき、集合族 {''A''_''i'' : ''i'' ∈&isin; ''I''} という集合族が「互いに素」であるとは、任意の ''i'' ≠&ne; ''j'' であるような任意の ''i'' と ''j'' について、

:<math>A_i \cap A_j = \varnothing\,</math>

が成り立つことをいう。例えば、{ {1}, {2}, {3}, ... } という集合族は互いに素な集合族である。

:<math>\bigcap_{i\in I} A_i = \varnothing\,</math>

が成り立つ。しかし、その逆は真ではない。集合族 {{1, 2}, {2, 3}, {3, 1}} の積集合は空集合だが、互いに素ではない。実際、ここから任意の2つの集合を取り出したとき、それらは素集合ではない。

集合 ''X'' の[[集合の分割|分割]]とは、その[[直和]]が ''X'' に等しい集合族のことである。すなわち、各 ''A''_''i'' が ''X'' の部分集合である族 {''A''_''i'' : ''i'' ∈&isin; ''I''} であり、互いに素であると同時に

:<math>\bigcup_{i\in I} A_i = X\,</math>