「単サイト近似」の版間の差分
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'''単サイト近似'''（Single site approximation、単一サイト近似とも言う）：[[多重散乱理論]]における総散乱行列Tにおいて、ポテンシャルが[[ランダム]]な場合における平均操作で行われる近似のこと。
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ここでは、置換型の[[不規則二元合金]]を考え、格子の配置は周期的であるが、ポテンシャル（二元合金なのでポテンシャルは２種類ある）の配置がランダムであるとする。
多重散乱理論から、ここで総散乱行列Tは、
<math> T = \sum_n t_n + \sum_n t_n \tilde{G} \sum_{m \ne n} t_m + \sum_n t_n \tilde{G} \sum_{m \ne n} t_m \tilde{G} \sum_{p \ne m} t_p + \cdot \cdot \cdot </math>
である（→参照：[[多重散乱理論]]）。不規則二元合金では、２種類のポテンシャルをそれぞれＡ、Ｂとして、それに対応するt行列をt<
<math> \begin{matrix} T & \to & \left\langle T \right\rangle = \left\langle \sum_n t_n + \sum_n t_n \tilde{G} \sum_{m \ne n} t_m + \sum_n t_n \tilde{G} \sum_{m \ne n} t_m \tilde{G} \sum_{p \ne m} t_p + \cdot \cdot \cdot \right\rangle \\ \ & = & \sum_n \left\langle t_n \right\rangle + \sum_n \left\langle t_n \tilde{G} \sum_{m \ne n} t_m \right\rangle + \sum_n \left\langle t_n \tilde{G} \sum_{m \ne n} t_m \tilde{G} \sum_{p \ne m} t_p \right\rangle + \cdot \cdot \cdot \end{matrix} </math>
とする。< >平均操作を意味する。ここで、上式最右辺の第三項に着目すると、これは３つのt行列の積の形となっている。そして、これにはt<
１次の平均は、
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<math> \left\langle t_n t_m \right\rangle \to \left\{ \begin{matrix} x^2 {t_A}^2, & n \ne m, \quad n = \mbox{A}, \quad m = \mbox{A} \\ x {t_A}^2, & n = m, \quad n = m = \mbox{A} \end{matrix}\right. </matH>
となる。２次の場合、nまたはmがＢの場合は省略（本当は２次の項の場合、n = mとなることはないが、ここでは便宜上n = mの場合を示した）。
１次の場合は良いとして、２次では<math> n =\, m </math>と<math> n \ne m </math>の場合とで平均の結果が異なる。つまり、３次以上の項では、t行列の積で同一サイトが含まれ場合と、そうでない場合とで平均操作を場合分けする必要がある。これを現実に行うこは不可能である。実際の平均操作では同一サイトが含まれるt行列の積の項を全て無視し、面倒な場合分けを行わないものとする。これが'''単サイト近似'''である。この近似により３次の項の平均操作を例にとると、
34 ⟶ 36行目:
<math> \left\langle T \right\rangle = \sum_n \left\langle t_n \right\rangle + \sum_n \left\langle t_n \right\rangle \tilde{G} \sum_{m \ne n} \left\langle t_m \right\rangle + \sum_n \left\langle t_n \right\rangle \tilde{G} \sum_{m \ne n} \left\langle t_m \right\rangle \tilde{G} \sum_{p \ne m, n} \left\langle t_p \right\rangle + \cdot \cdot \cdot </math>
となる。平均操作を施した[[状態密度]]D(E)は（D<
<math> \begin{matrix} & & D(E) - D_0(E) = {2 \over {N \pi} } \mathrm{Im Tr} {d \over {dE} } \{ x \ln T_A + y \ln T_B \} \\ \ & = & - {2 \over {N \pi} } \mathrm{Im Tr} \{ x T_A {d \over {dE} } (\tau_A^{-1} - B) + y T_B {d \over {dE} } (\tau_B^{-1} -B) \} \\ \ & = & - {2 \over {N \pi} } \mathrm{Im Tr} \sum_{n} [x \left\langle T_{nn} \right\rangle_{n = A} {d \tau_A^{-1} \over {dE} } + y \left\langle T_{nn} \right\rangle_{n = B} {d \tau_B^{-1} \over {dE} } - \sum_{n_1} \left\langle T_{nn_1} \right\rangle {d \over {dE} } B_{{n_1}n} ] \end{matrix} </math>
となる。係数2はスピンの縮重度。Imは虚数部分、Trはトレース（跡)を取ることを意味する。更に平均操作は添え字nに対して独立なので、n=0（を原点として）で代表させる（N倍する必要あり。N：全サイト数）。また< T<
<math> \left\langle T_{nn} \right\rangle \to T_{\mathbf{q}}^{eff} = [ \tau_{eff}^{-1} - B_{\mathbf{q}} ]^{-1} </math>
44 ⟶ 46行目:
として、
<math> D(E) - D_0(E) = - {2 \over {\pi} } \mathrm{Im Tr} [x \left\langle T_{00} \right\rangle_{0 = A} {d \tau_A^{-1} \over {dE} } + y \left\langle T_{00} \right\rangle_{0 = B} {d \tau_B^{-1} \over {dE} } - {1 \over N} \sum_{\mathbf{q}} T_{\mathbf{q}}^{eff} {d B_{\mathbf{q}} \over {dE} } ] </math>
となる。これが不規則二元合金の状態密度を与える基本式となる。尚、B<
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