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'''確率微分方程式'''（かくりつびぶんほうていしき、英:stochastic differential equation）とは、一つ以上の項が[[確率過程]]である[[微分方程式]]であって、その結果、解自身も確率過程となるものである。
一般的に、確率微分方程式は[[ブラウン運動]]（[[ウィーナー過程]]）から派生すると考えられる[[白色雑音]]を組み込むが、不連続過程の様な他の無作為変動を用いることも可能である。
== 背景 ==
確率微分方程式は、ブラウン運動を記述した[[アルベルト・アインシュタイン|アインシュタイン]]の有名な論文、および同時期に Smoluchowski により導入された。
しかし、[[ルイ・バシュリエ|バシュリエ]]（1900年）の論文「投機の理論」は、ブラウン運動に関連した初期の業績として特筆すべきである｡
その後、[[ポール・ランジュバン|ランジュバン]]に引き継がれ、後に[[伊藤清|伊藤]]とストラトノビッチが確率微分方程式に数学的基礎付けを行った。
=== 確率解析 ===
ブラウン運動、あるいはウィーナー過程は、数学的には極めて複雑である。
ウィーナー過程の経路は微分不可能であり、従って、微分･積分を行うには、独自の規則が必要となる。
確率解析には、伊藤確率解析、ストラトノビッチ確率解析の 2 つの方法がある。
いつどちらを使うべきかは、曖昧になりがちである。
一般的に、伊藤確率微分方程式を等価なストラトノビッチ確率微分方程式に変換でき、再び戻すことも可能であり、解を得る手助けになる。
しかし、その確率微分方程式を立てた際、どちらの解析によったのか、注意を払わなければならない。
=== 数値解 ===
確率微分方程式、特に確率偏微分方程式の数値解法は、相対的に未発達な分野である。
常微分方程式の数値解に使用されるアルゴリズムの殆どは、確率微分方程式には殆ど有効に使用できず、数値収束が非常に悪い。
== 定義 ==
典型的には、''B<sub>t</sub>'' （''t''≧0） を、 ''B''<sub>0</sub> = 0 を満たす連続時間一次元[[ブラウン運動]]（[[ウィーナー過程]]）とするとき、積分方程式
:<math> X_{t+s} - X_{t} = \int_t^{t+s} \mu(X_u,u) du + \int_t^{t+s} \sigma(X_u,u)\, dB_u </math>
を
:<math> dX_t = \mu(X_t,t)\, dt + \sigma(X_t,t)\, dB_t </math>
の形に略記したものを、確率微分方程式という。
上記方程式は、連続時間の確率過程 ''X''<sub>''t''</sub> の振る舞いを、一般の[[ルベーグ積分]]と伊藤積分の和で模している。
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ウィーナー過程の変化は互いに独立で正規分布に従うことから、こう考えることができる。
関数 ''μ''(''x'',''t'') は'''ドリフト係数'''
確率微分方程式の解として得られる確率過程 ''X<sub>t</sub>'' は'''拡散過程'''
== 強解と弱解 ==
確率微分方程式の理論的解釈は、同方程式の解とは何かによって解釈する。
確率微分方程式の解の主要な定義には、'''強解'''
どちらも、確率微分方程式に対応する積分方程式の解となる確率過程 ''X<sub>t</sub>'' の存在を要件とする。
両者の違いは、基礎となる確率空間 (Ω, ''F'', ''P'') にある。
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:<math>dX_t = \mu X_t\, dt + \sigma X_t\, dB_t</math>
は重要な例であり、この解を'''幾何ブラウン運動'''
これは、[[数理ファイナンス]]において、[[ブラック-ショールズ方程式|ブラック・ショールズ]]・オプション価格モデルで、株式価格の動きを模す方程式である。
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係数関数 ''μ'' と ''σ'' が、解確率過程 ''X<sub>t</sub>'' の現在の値のみならず、同過程の過去の値、または他の確率過程の現在と過去の値にも依存する、さらに一般的な確率微分方程式が考えられる。
この場合、解確率過程 ''X<sub>t</sub>'' はマルコフ過程ではなく、その解は拡散過程ではなく'''伊藤過程'''
係数関数が現在と過去の ''X<sub>t</sub>'' の値のみに依存する場合、定義する確率微分方程式は、'''確率遅延微分方程式'''
== 解の存在と一意性 ==
決定論的な常微分方程式や偏微分方程式と同様、与えられた確率微分方程式の解が存在するか、存在するとして一意か否かを知ることは、重要である。
下記は、''n'' [[次元]][[ユークリッド空間]] '''R'''<sup>''n''</sup> に値を取り、''m'' 次元ブラウン運動 ''B'' を無作為項とする伊藤確率微分方程式の解の存在および一意性に関する一般的定理である。
参考文献に記したエクセンダールの本の §5.2 には、証明が記載されている。
''T'' > 0 とする。
:<math>\mu : \mathbb{R}^{n} \times [0, T] \to \mathbb{R}^{n}</math>
:<math>\sigma : \mathbb{R}^{n} \times [0, T] \to \mathbb{R}^{n \times m}</math>
は可測関数で、適当な定数 ''C''、''D'' が存在し、
任意の ''t'' ∈ [0, ''T'']、任意の ''x'', ''y'' ∈ '''R'''<sup>''n''</sup> に対し、次の 2 条件を満たすとする。
:<math>\big| \mu (x, t) \big| + \big| \sigma (x, t) \big| \leq C \big( 1 + | x | \big)</math>
:<math>\big| \mu (x, t) - \mu (y, t) \big| + \big| \sigma (x, t) - \sigma (y, t) \big| \leq D | x - y |</math>
ここで、
:<math>| \sigma |^{2} = \sum_{i, j = 1}^{n} | \sigma_{ij} |^{2}</math>
である。
確率変数 ''Z'' は、{''B<sub>s</sub>''}<sub>''s''≧0</sub> により生成される ''σ'' 加法族と独立であり、かつ、
:<math>\mathbb{E} \big[ | Z |^{2} \big] < + \infty</math>
を満たすとする。
このとき、確率微分方程式、
:<math>
dX_{t} = \mu (X_{t}, t) dt + \sigma (X_{t}, t) dB_{t} \ , 0 \le t \le T
</math>
:<math>X_{t} = Z \,</math>
は、以下の 2 つの性質を有する ''t'' に関して連続な解
<math>X: (t, \omega) \mapsto X_{t}(\omega)</math>
を、P に関して殆ど確実に一意に有する。
* ''X'' は、''Z'' と ''B<sub>s</sub>'' （''s''≦''t''） により生成される増大情報系<ref>
可測空間 (Ω, ''F'') において、''t'' ∈[0, ∞) を助変数とする部分集合族 {''F<sub>t</sub>''} が'''増大情報系'''（ぞうだいじょうほうけい、英：filtration）であるとは、''F<sub>t</sub>'' が ''F'' の部分 σ 加法族であって、かつ 0≦''s''＜''t'' ⇒ ''F<sub>s</sub>''⊆''F<sub>t</sub>'' を満たすことをいう。
</ref>に適合する。<ref>
増大情報系 {''F<sub>t</sub>''} が与えられた確率空間 (Ω, ''F'', ''P'') 上の確率過程 {''X<sub>t</sub>''(''ω'')} が {''F<sub>t</sub>''} に'''適合'''する（英：adapted）確率過程であるとは、任意の ''t'' に対して ''X<sub>t</sub>'' が ''F<sub>t</sub>'' 可測になることをいう。
</ref>
* <math>\mathbb{E} \left[ \int_{0}^{T} | X_{t} |^{2} \, \mathrm{d} t \right] < + \infty</math>
== 脚注 ==
<references/>
== 参考文献 ==
* I.カラザス、S.E.シュレーブ、渡邉壽夫訳（2001）、ブラウン運動と確率積分、シュプリンガー・フェアラーク東京、ISBN 4-431-70852-9
* ベァーント・エクセンダール、谷口説男訳（1999）、確率微分方程式 ─ 入門から応用まで、シュプリンガー・フェアラーク東京、ISBN 4-431-
== 関連項目 ==
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