「算術の基本定理」の版間の差分

'''算術の基本定理'''（さんじゅつのきほんていり、[[英語|英]]:''fundamental theorem of arithmetic''）とは「すべての[[自然数]]は[[素数]]であるか、素数の[[積]]としてただ一通りに表すことができる数である」という[[数論]]における[[定理]]である。例えば120は 2³×3×5 と[[素因数分解]]され、これ以外の素因数分解された形として表わすことはできない。なおここでは[[1]]は「0個の素因数の積」と考えることにする。

すべての自然数が素数の積で表されることを証明するため、まず素数の積で表わせない自然数を仮定する。そのような数には最小の数があるはずであり、それをnとおくする。nには上記の定義から1は当てはまらず、素数もその数単独の積であるので該当しない。したがってnは[[合成数]]で、 n=ab と表わすことができ、aとbはnより小さい自然数となる。aとbがnより小さく、nは「素数の積で表わせない自然数のうち最小の数」なので、aとbは素数の積で表わすことができる自然数である。するとabも素数の積で表わすことができる数となりnについての仮定に反する。これは[[背理法]]を用いた証明である。

与えられた二つの「複数の素数の積」がそれぞれ等しいならば、一つ目の積の要素から素数pを選び出すことができる。このpは一つ目の積を割り切り、したがってもう一方の積も割り切る。これはpが二つ目の積の要素のうち少なくとも一つを割り切ることを示す。しかし積の要素はそれぞれ全て素数であるので、pは二つ目の積の要素の一つに等しくなければならない。ゆえにそのためpを両方の積から消去してもそれらは互いに等しく、このような操作を続けることで両方の積の各要素は全てもう一方の積の要素のいずれかと等しいことが証明される。