「単調写像」の版間の差分
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<!--とりあえず、数学を知らない人向けに直観的に解説→-->実数の集合から実数の集合への[[関数]]が'''単調増加'''であるとは関数の値が一度増えたら二度と減らない事を指す。
より厳密に言えば、xよりyが大きいなら常にf(x)よりf(y)の方が大きい関数fを単調増加と呼ぶ。
これはすなわち、関数を[[グラフ]]に書いたときに、グラフが常に右肩上りで、右肩下がりになっている部分がない事であると言い替える事ができる。
一方、実数の集合から実数の集合への関数が'''単調減少'''であるとは関数の値が一度減ったら二度と減らない事を指す。
より厳密に言えば、xよりyが大きいなら常にf(x)よりf(y)の方が小さい関数fを単調減少と呼ぶ。
これはすなわち、関数を[[グラフ]]に書いたときに、グラフが常に右肩下がりで、右肩上りになっている部分がない事であると言い替える事ができる。
[[経済学]]の分野では、単調増加、単調減少の事をそれぞれ'''逓増'''、'''逓減'''とも言う。
'''広義単調増加'''関数とは、x<yなら常にf(x)≦f(y)となる関数を指す。一方'''狭義単調増加'''関数とは、x<yなら常にf(x)>f(y)となる関数を指す。
すなわち、x<yのとき、関数値f(x)とf(y)が等しくなる事を認めるのが広義単調増加で、そうでないのが狭義単調増加である。
同様に'''広義単調減少'''関数とは、x<yなら常にf(x)≧f(y)となる関数を指す。一方'''狭義単調増加'''関数とは、x<yなら常にf(x)>f(y)となる関数を指す。
すなわち、x<yのとき、関数値f(x)とf(y)が等しくなる事を認めるのが広義単調減少で、そうでないのが狭義単調減少である。
単に「単調増加」、「単調減少」と言った場合にそれが狭義のものを指すのか広義のものをさすのかは文脈による。
関数が単調増加もしくは単調減少であるとき、その関数は'''単調'''である、もしくは'''単調性'''を満たすという。
ただし、文脈によっては単調増加の場合のみを「単調」と呼ぶ事もある。
関数fが可[[微分]]な場合、単調性の概念はfの[[導関数]]f'によって特徴づける事ができる。
fが狭義単調増加になるのはf'(x)が常に正な事と同値であり、fが広義単調増加になるのはf'(x)が常に非負な事と同値である。
一方fが狭義単調減少になるのはf'(x)が常に負な事と同値であり、fが広義単調増加になるのはf'(x)が常に非正な事と同値である。
上述の解説から分かるように、単調性の概念は(半)[[順序構造]]さえあれば定義できるので、より一般的に[[順序集合]]から順序集合への[[写像]]の場合に単調性の概念を自然に拡張できる。
この場合、単調増加な写像は[[準同型|順序を保つ]]写像 {{lang|en|(order-preserving, isotone)}} であると言い替える事ができ、
一方単調減少な写像は順序を逆にする写像{{lang|en|(order-reversing, antitone)}} であると言い替える事ができる。
単調性を満たす写像を'''単調写像'''と呼ぶ。
実数に値を取る[[数列]]は、自然数の集合から実数の集合への写像であると解釈できる。
その写像が単調なとき、その数列は'''単調数列'''と呼ばれる。
== 実関数での単調の定義 ==
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