「解析関数」の版間の差分

複素変数 ''z'' の関数 ''f(z)'' が複素平面上の１1点'' z=c'' で解析的（analytic）であるとは、''c'' の近傍で ''z-c'' の[[冪級数]]で表されることを云う。　しかし'''解析関数'''（かいせきかんすう）という語は場合により多少異なった意味で用いられる。

複素平面上のある領域で定義された正則関数はその中の各点にそれを中心とする冪級数を有する。　冪級数とその収束円との組をその点における関数要素と言う。　１ 1点から出発して曲線に沿った[[解析接続]]で関数要素を次々に接続していくことにより定義域が拡張される。（詳細は項目「[[解析接続]]」を参照）　あらゆる曲線に沿って出来るだけ解析接続を行い、定義域を限度一杯まで拡張して得られる関数を'''（[[ワイエルシュトラス]]の）解析関数'''と云う。　ある点における関数の値は、その点を中心とする関数要素のとる値として得られる。　　[[関数論]]はこの意味の解析関数を対象とする数学分野である。

*　解析関数はその１1つの関数要素を与えれば、その定義域を含めて完全に定まる。 従って複素平面上の小さな領域で定義された正則関数からもその拡張である大域的な解析関数が一意的に定まる。

*　複素平面上の１1点 ''ｃc'' での値はそれを中心とする関数要素により定まるが、その関数要素は基準点からの解析接続の経路により一般には異なる。　従って ''ｃc'' での関数の値は一般には２2つ以上定まり、関数は多価になる。　例えば[[平方根]]を表す関数は２2価であり、[[対数]]関数は無限多価関数である。

*　多価解析関数は、複素平面を変形して適当な[[リーマン面]]をつくると、その上では１1価の正則関数と見なすことが出来るようになる。　かくして通常の正則関数に関する多くの成果、例えば[[コーシーの積分定理]]なども適切な扱いのもとでそのまま使うことが出来るようになる。