Wikipedia

「相互作用描像」の版間の差分

履歴の双方向閲覧
← 古い編集新しい編集 →
削除された内容 追加された内容
ビジュアルウィキテキスト
m ピリオド削除
灰 (会話 | 投稿記録)
1,272 回編集
m編集の要約なし
23行目:
<!-- A state vector in the interaction picture is defined as -->
 
:{{Indent|<math> | \psi_{I}(t) \rang = e^{i H_{0, S} t / \hbar} | \psi_{S}(t) \rang </math>}}
 
(ここで、<math>| \psi_{S}(t) \rang </math>はシュレーディンガー描像における対応する状態ベクトルを表す。)
34行目:
<!-- An operator in the interaction picture is defined as -->
 
:{{Indent|<math>A_{I}(t) = e^{i H_{0,S} t / \hbar} A_{S}(t) e^{-i H_{0,S} t / \hbar}</math>}}
 
(典型的には、''A<sub>S</sub>(t)''は''t''に依存しないので単に''A<sub>S</sub>''と書ける。これが''t''に依存するのは、例えば時間変化する外部電場に依存するなど、演算子が陽に時間に依存する場合のみである。)
45行目:
<!-- For the operator <math>H_0</math> itself, the interaction picture and Schrödinger picture are the same: -->
 
:{{Indent|<math>H_{0,I}(t) = e^{i H_{0,S} t / \hbar} H_{0,S} e^{-i H_{0,S} t / \hbar} = H_{0,S}</math>}}
 
(これは、演算子は自身の[[微分可能]]な関数とは[[交換関係|交換]]することを用いて証明できる。)よって特にこの演算子は曖昧さを残さず''H<sub>0</sub>''と呼ぶことができる。
53行目:
<!-- For the perturbation Hamiltonian <math>H_{1,I}</math>, we have: -->
 
:{{Indent|<math>H_{1,I}(t) = e^{i H_{0,S} t / \hbar} H_{1,S} e^{-i H_{0,S} t / \hbar}</math>}}
 
このように相互作用描像における[[摂動]]ハミルトニアンは時間非依存になる。（ただし[''H<sub>1,S</sub>,H<sub>0,S</sub>'']=0の場合。)
61行目:
<!-- It is possible to obtain the interaction picture for a time-dependent Hamiltonian <math>H_{0,s}(t)</math> as well but the exponentials need to be replaced by the unitary propagator for the evolution due to <math>H_{0,s}(t)</math> or more explicitly with a time-ordered exponential integral. -->
 
====[[密度行列]]====
<!-- ====Density matrix==== -->
 
[[密度行列]]は他の演算子と同じように相互作用描像で表すことができる。特に、''ρ<sub>I</sub>''と''ρ<sub>S</sub>''をそれぞれ相互作用描像、シュレーディンガー描像における密度行列とすると、物理状態<math>|\psi_n\rang</math>が実現される確率を''p<sub>n</sub>''として、次のように表される。
<!-- The [[density matrix]] can be shown to transform to the interaction picture in the same way as any other operator. In particular, let <math>\rho_I</math> and <math>\rho_S</math> be the density matrix in the interaction picture and the Schrödinger picture, respectively. If there is probability <math>p_n</math> to be in the physical state <math>|\psi_n\rang</math>, then -->
 
:{{Indent|<math>\rho_I(t) = \sum_n p_n(t) |\psi_{n,I}(t)\rang \lang \psi_{n,I}(t)| = \sum_n p_n(t) e^{i H_{0, S} t / \hbar}|\psi_{n,S}(t)\rang \lang \psi_{n,S}(t)|e^{-i H_{0, S} t / \hbar} = e^{i H_{0, S} t / \hbar} \rho_S(t) e^{-i H_{0, S} t / \hbar}</math>}}
 
==相互作用描像における時間発展方程式==
78行目:
<!-- Transforming the [[Schrödinger equation]] into the interaction picture gives: -->
 
:{{Indent|<math> i \hbar \frac{d}{dt} | \psi_{I} (t) \rang = H_{1, I}(t) | \psi_{I} (t) \rang </math>}}
 
この方程式は'''[[朝永振一郎|朝永]]-[[ジュリアン・シュウィンガー|シュウィンガー]]の式'''として知られる。
89行目:
<!-- If the operator <math>A_{S}</math> is time independent (i.e., does not have "explicit time dependence"; see above), then the corresponding time evolution for <math>A_I(t)</math> is given by: -->
 
:{{Indent|<math> i\hbar\frac{d}{dt}A_I(t)=\left[A_I(t),H_0\right]</math>}}
 
相互作用描像では演算子は、ハイゼンベルグ描像においてハミルトニアンを''H'=H<sub>0</sub>''としたときの演算子と同じように時間発展する。
101行目:
<!-- Transforming the Schwinger-Tomonaga equation into the language of the [[density matrix]] (or equivalently, transforming the [[Density_Matrix#Von_Neumann_equation|von Neumann equation]] into the interaction picture) gives: -->
 
:{{Indent|<math> i\hbar \frac{d}{dt} \rho_I(t) = \left[ H_{1,I}(t), \rho_I(t)\right]</math>}}
 
==相互作用描像の使用==
「https://ja.wikipedia.org/wiki/相互作用描像」から取得