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8行目: * μ(''n'') = 0 （''n'' が平方因子を持つ（平方数で割り切れる）とき） * μ(''n'') = (-1)<sup>k</sup> （''n'' が相異なる ''k'' 個の素因数に分解されるとき） : ''n'' が相異なる偶数個の素数の積ならば μ(''n'') = 1 : ''n'' が相異なる奇数個の素数の積ならば μ(''n'') = -1 === 計算例 === 15行目: ''n'' = 1, ..., 10 での μ(''n'') の値を示す： :{{Indent\|μ(1) <nowiki>=</nowiki> 1, μ(2) <nowiki>=</nowiki> -1, μ(3) <nowiki>=</nowiki> -1, μ(4) <nowiki>=</nowiki> 0, μ(5) <nowiki>=</nowiki> -1, μ(6) <nowiki>=</nowiki>1, μ(7) <nowiki>=</nowiki> -1, μ(8) <nowiki>=</nowiki> 0, μ(9) <nowiki>=</nowiki> 0, μ(10) <nowiki>=</nowiki> 1}} == 性質 == メビウス関数は乗法的な関数である。すなわち、[[互いに素]]な ''m'', ''n'' に対して、 :{{Indent\|μ(''mn'') <nowiki>=</nowiki> μ(''m'')μ(''n'')}} となる。また、''m'', ''n'' が互いに素でなければ、 :{{Indent\|μ(''mn'') <nowiki>=</nowiki> 0 }} である。 === 基本公式 === また次のような基本的な公式が成り立つ。 : {{Indent\|() <math>\sum_{d\|n} \mu (d) = \begin{cases} 1 & (n = 1)\\ 0 & (n \ne 1) \end{cases}</math>}} これは ''n'' = 1 のときは自明である。''n'' が 1 より大きい場合について、平方因子をもつ因数 ''d'' については μ(''d'') = 0 であるから、''n'' が無平方数である場合を見ておけばよい。''n'' は ''k'' 個の素数の積であるとする。''n'' の約数は、その素因数をいくつか掛け合わせたものになるが、偶数個（0 を含む）の素因数からなる約数 ''d'' に対しては μ(''d'') = 1 であり、奇数個の素因数からなる約数 ''d'' に対しては μ(''d'') = −1 となるから、因子の[[組合せ]]の数を考慮すれば :{{Indent\|<math> \sum_{d\|n} \mu (d) = {}_k{\rm C}_0 -{}_k{\rm C}_1 + {}_k{\rm C}_2 -{}_k{\rm C}_3 + \cdots + (-1)^k {}_k{\rm C}_k </math><br /> :<math> = \sum_{i=0}^k (-1)^i {}_k{\rm C}_i = (1-1)^k =0 </math>}} が確かめられる。最後から二つ目の等号は[[二項定理]]による。より一般に、 ''f'' を乗法的な[[数論的関数]]とすると、 : {{Indent\|() <math>\sum_{d\|n}\mu(d)f(d) = \prod_{p\|n}(1 - f(p))</math>}} が成り立つ。 56行目: == 例と応用 == ''n'' の約数の総和を表す関数 σ(''n'') はその定義より :{{Indent\|<math>\sigma(n) = \sum_{d\mid n} d</math>}} となるが、これに反転公式を適用すると :{{Indent\|<math>n = \sum_{d\|n} \mu\left(\frac {n}{d}\right) \sigma(d)</math>}} となる。次の例は非常に重要な関数 Λ(''n'') を定義している（この関数はフォン・マンゴルトの関数と呼ばれる）。 :{{Indent\|<math>\log n = \sum_{d \mid n} \Lambda (d)</math>}} この式は、素因数の一意分解定理と同値であるが、反転すると :{{Indent\|<math>\Lambda (n) = \sum_{d\|n} \mu (d) \log \frac {n}{d}</math>}} となる。和の中を具体的に計算すると :{{Indent\|<math>\Lambda (n) = \begin{cases} \log p & (n = p^k, k>0) \\ 0 & (\mbox{otherwise}) \end{cases}</math>}} が得られる。先の基本公式 () に適用すれば、[[ゼータ関数]]による母関数表示を得る。 :{{Indent\|<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{\mu(n)}{n^s} = \frac{1}{\zeta(s)}</math>}} == μ(''n'') == 110行目: *[http://mathworld.wolfram.com/MoebiusFunction.html Möbius Function -- From MathWorld（メビウス関数）]（英語） ~~[[Category~~{{DEFAULTSORT:~~数論\|~~めひうすかんすう]]}} [[Category:数論]] [[Category:整数論的関数\|めひうす]] [[Category:組合せ論~~\|めひうすかんすう~~]] [[Category:数学に関する記事~~\|めひうすかんすう~~]] [[bg:Функция на Мьобиус]]

「メビウス関数」の版間の差分