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「斜交ベクトル空間」の版間の差分

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13行目:
 
標準斜交空間は、以下の[[斜交行列]]により与えられる斜交形式を有する '''R'''<sup>2''n''</sup> である。
:{{Indent|<math>\omega = \begin{bmatrix} 0 & I_n \\ -I_n & 0 \end{bmatrix}</math>}}
ここで、''I''<sub>''n''</sub> は ''n'' &times; ''n'' 次[[単位行列]]である。
 
標準基底
:{{Indent|<math>(x_1, \ldots, x_n, y_1, \ldots, y_n)</math>}}
により、
:{{Indent|<math>\omega(x_i, y_j) = -\omega(y_j, x_i) = \delta_{ij}\,</math><br />
:<math>\omega(x_i, x_j) = \omega(y_i, y_j) = 0\,</math>.}}
が成り立つ。
 
30行目:
ここで、以下の形式を持つこれら空間の[[直和]] ''W'' := ''V'' &oplus; ''V''<sup>&lowast;</sup> を考える。
 
:{{Indent|<math>\omega(x \oplus \eta, y \oplus \xi) = \xi(x) - \eta(y)</math>}}
 
そして、''V'' の任意の基底 <math>(v_1, \ldots, v_n)</math> を取り、その[[双対ベクトル空間|双対基底]]
 
:{{Indent|<math>(v^*_1, \ldots, v^*_n)</math>. }}
 
を考える。
''x''<sub>''i''</sub> = (''v''<sub>''i''</sub>, 0) および ''y''<sub>''i''</sub> = (0, v<sub>''i''</sub><sup>&lowast;</sup>) と書くと、これら基底ベクトルが ''W'' 内にあると解することができる。
これらを一まとめにして考えると、''W'' の完全な基底
:{{Indent|<math>(x_1, \ldots, x_n, y_1, \ldots, y_n)</math>}}
が得られる。
 
52行目:
前節で定義した標準基底を使うと、
 
:{{Indent|<math>\omega^n=(-1)^{n/2} x^*_1\wedge\ldots \wedge x^*_n
\wedge y^*_1\wedge \ldots \wedge y^*_n</math>}}
 
である。順番を変え、
 
:{{Indent|<math>\omega^n= x^*_1\wedge y^*_1\wedge \ldots \wedge x^*_n
\wedge y^*_n</math>.}}
 
と書くことができる。
71行目:
引き戻し形式は、
 
:{{Indent|<math>f^*\rho(u,v)=\rho(f(u),f(v))</math>}}
 
で定義されるから、''f'' が斜交写像であることは、
 
:{{Indent|∀''u'', ''v'' ∈ ''V''; ρ(''f''(''u''), ''f''(''v'')) <nowiki>=</nowiki> ω(''u'', ''v'')}}
 
と同値である。
84行目:
''V'' = ''W'' のとき、斜交写像を''V'' の'''線形斜交変換'''という。
この場合、
:{{Indent|<math>\omega(f(u),f(v)) = \omega(u,v)</math>}}
であり、線形変換 ''f'' は斜交形式を保存する。
斜交変換全ての集合は[[群]]をなし、特に[[リー群]]になり、[[斜交群]]と呼ばれ、Sp(''V'') あるいは Sp(''V'', ω) と記す。
93行目:
''W'' を ''V'' の部分空間とする。
''W'' の'''斜交補空間''' を、
:{{Indent|<math>W^{\perp} = \{v\in V \mid \forall w\in W: \omega(v,w) = 0 \}</math>}}
と定義する。
斜交補空間は、
:{{Indent|<math>(W^{\perp})^{\perp} = W</math>}}
および
:{{Indent|<math>\dim W + \dim W^\perp = \dim V</math>}}
をみたす。
しかし、直交補空間と異なり、''W''<sup>⊥</sup> ∩ ''W'' が 0 になる必要はない。
119行目:
* 斜交表現は、群の各要素が斜交変換として作用する群の表現である。
 
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