「単調写像」の版間の差分
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数式はイタリックで。狭義単調増加とf'(x) > 0の同値性は言えない。 |
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<!--とりあえず、数学を知らない人向けに直観的に解説→-->実数の集合から実数の集合への[[関数 (数学)|関数]]が'''単調増加'''であるとは関数の値が一度増えたら二度と減らない事を指す。
より厳密に言えば、''x''より''y''が大きいなら常に<math>f(x)</math>より<math>f(y)</math>の方が大きい関数fを単調増加と呼ぶ。
これはすなわち、関数を[[グラフ]]に書いたときに、グラフが常に右肩上りで、右肩下がりになっている部分がない事であると言い替える事ができる。
一方、実数の集合から実数の集合への関数が'''単調減少'''であるとは関数の値が一度減ったら二度と増えない事を指す。
より厳密に言えば、''x''より''y''が大きいなら常に<math>f(x)</math>より<math>f(y)</math>の方が小さい関数fを単調減少と呼ぶ。
これはすなわち、関数を[[グラフ]]に書いたときに、グラフが常に右肩下がりで、右肩上りになっている部分がない事であると言い替える事ができる。
[[経済学]]の分野では、単調増加、単調減少の事をそれぞれ'''逓増'''、'''逓減'''とも言う。
'''広義単調増加'''関数とは、<math>x < y</math>なら常に<math>f(x)
すなわち、<math>x < y</math>のとき、関数値<math>f(x)</math>と<math>f(y)</math>が等しくなる事を認めるのが広義単調増加で、そうでないのが狭義単調増加である。
同様に'''広義単調減少'''関数とは、<math>x < y</math>なら常に<math>f(x)
単に「単調増加」、「単調減少」と言った場合にそれが狭義のものを指すのか広義のものをさすのかは文脈による。
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ただし、文脈によっては単調増加の場合のみを「単調」と呼ぶ事もある。
関数<math>f(x)</math>が常に可[[微分]]な場合、単調性の概念は<math>f(x)</math>の[[導関数]]<math>f'(x)</math>によって特徴づける事ができる。
<math>f(x)</math>が
更に<math>f'(x)</math>の零点が離散的にしか存在しない場合、狭義の単調性が言える。
上述の解説から分かるように、単調性の概念は(半)[[順序構造]]さえあれば定義できるので、より一般的に[[順序集合]]から順序集合への[[写像]]の場合に単調性の概念を自然に拡張できる。
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