「ヴィット代数」の版間の差分

{{dablink|本項におけるヴィット環は、二次形式の[[:{{仮リンク|ヴィット環|en:Witt ring|Witt ring]]}}や[[:{{仮リンク|ヴィットベクトル|en:|Witt vector|Vitt vector]]}}の環とは、直接の関係がはありません。}}

[[数学]]において、複素'''ヴィット環'''（ヴィット-かん、{{lang-en-short|''Witt algebra''}}; '''ヴィット代数'''）とは、二定点を除く[[リーマン球面]]上の2点を除いて解析的全域で正則な有理型ベクトル場全体の成すリー環である。その名前称は[[:en:Ernst Witt|Ernst Wittエルンスト・ヴィット]]に由来する因む。このリー環は円周上の多項式ベクトル場全体の成すリー環の複素化でもあり、環 '''C'''[''z'', ''z''^−1] の[[:微分 (代数学)|微分]]（あるいは{{仮リンク|導分|en:|Derivation (abstract algebra)|derivation]]}}）全体のな成すリー環でもある。ヴィット環は[[共形場理論]]の研究において現れる。

似た交換関係を持ち有限体上にで定義されるいくつかの同様なリー環もあやはり、これらもヴィット環と呼ばれる。

複素ヴィット環は Cartan (1909) [[エリ・カルタン]]によって初めて定義され{{harv|Cartan|1909}}、その有限体上の類似物は Witt ヴィットによって1930年代に研究された。

ヴィット環を円周上のベクトル場のリー環として考えたとき、その基底は整数 ''n'' に対して
: <math>L_n=-z^{n+1} \frac{\partial}{\partial z}</math>（''n''は整数）
によって与えられる。

2つのベクトル場の[[リー微分|括弧積]]は次、基底によって与えられおける。積

:<math>[L_m,L_n]=(m-n)L_{m+n}.</math>

を線型に拡張したもので与えられる。ヴィット環は[[ヴィラソロ代数]]と呼ばれる[[:{{仮リンク|中心拡大|en:|Group extension#Central extension|中心拡大]]}}を持つ。ヴィラソロ代数は共形場理論や弦理論において重要である。

標数 ''p'' &gt; 0 の体 ''k'' 上では、のヴィット環は環
: ''<math>k''[''z'']/''(z''<sup>''^p'')</supmath>
上の derivation 微分全体の成すリー環として定義される。ヴィット環は

''L''_''m'' , (&minus;1 &le; ''m'' &le; ''p'' &minus; 2) によって張られる。