「五角数」の版間の差分

'''五角数'''（ごかくすう、''pentagonal number''）number）とは、[[多角数]]の一種で、[[正五角形]]の形に点を下図のように並べたとき、図に含まれる点の総数にあたる[[自然数]]である。五角数は無数にあり、そのなかでは [[1]] が最も小さい。3で割ると1余る整数を1から小さい順に足した数と定義してもよい。例：5 (= 1 + 4)、12 (= 1 + 4 + 7)、92 (= 1 + 4 + 7 + 10 + 13 + 16 + 19 + 22)

''n''番目の五角数を P_''n'' とすると上、図より

:pP₁ = 1 , pP_''n''+1 = pP_''n'' + 3n3''n'' + 1

が導かれる成り立つ。よって五角数の式は

:<math>P_n = P_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (3k + 1) = \frac{n(3n-1)}{2} \quad (n \ge 2)</math><br>

こで与えられはn=1のときも成り立つる。五角数を小さいものから順に列記すると

:1, [[5]], [[12]], [[22]], [[35]], [[51]], [[70]], [[92]], [[117]], [[145]], [[176]], [[210]], [[247]], [[287]], [[330]], [[376]], [[425]], [[477]], [[532]], [[590]],… [[651]], [[715]], [[782]], [[852]], [[925]], [[1001]],…　（{{OEIS|A326}}）
となる。

''n''番目の五角数は3n3''n''-1番目の[[三角数]]の[[1/3]]に等しい。また 1 から ''n ''番目までの五角数の[[相加平均]]は ''n ''番目の三角数に等しい。

五角数は[[奇数]]-奇数-[[偶数]]-偶数といった順番の繰り返しで現れる。また 1 と 5 以外の五角数は全て[[合成数]]である。

五角数の[[逆数]]の[[無限和]]は
:<math> \frac{1}{1} + \frac{1}{5} + \frac{1}{12} + ... = 3 \log {3} - \frac{\sqrt {3} \pi}{3} = 1.4820375...</math> である。

* [[平方数|]]（四角数（平方数）]]

[[Category:図形数論]]