「三角関数」の版間の差分
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m <math>sin</math>→<math>\sin</math> とりあえず一箇所だけ直しておきます。 |
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[[en:Trigonometric function]] [[fr:Fonction trigonométrique]] [[de:Trigonometrische Funktion]]
'''三角関数'''（'''さんかくかんすう'''）とは 2 次元[[ユークリッド空間]] '''R'''<sup>2</sup> 上の[[単位円]] ''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup> = 1 上で、点 (1,0) から正の向きに回転するとき、その行程を ''t'' とし、最終到達点を ''P'' = (''x'',''y'') とする。このとき、
: sin ''t'' = ''y''、
: cos ''t'' = ''x''、
: tan ''t'' = sin ''t'' / cos ''t'' = ''y''/''x''
と定義し、上から'''正弦関数（サイン）'''・'''余弦関数（コサイン）'''・'''正接関数（タンジェント）'''と呼び、これらを総称して'''三角関数'''と呼ぶ。さらにその逆数、
: csc ''t'' = 1/''y''、
: sec ''t'' = 1/''x''、
: cot ''t'' = ''x''/''y''
を、上から'''余割関数（コセカント）'''・'''正割関数（セカント）'''・'''余接関数（コタンジェント）'''と呼び、これらを総称して、'''割三角関数'''と呼ぶ。割三角関数を含めて三角関数と呼ぶこともある。
:[[画像:Trigonometric introduction.png]]
三角関数の由来は、斜辺が 1 の[[直角三角形]]
2π の行程を隔てれば、単位円を一周する。従って、任意の行程 ''t'' は、
:<math>t = \theta + 2\pi n (0 \le \theta < 2\pi , n\isin \mathbf{Z})</math> と表現することが出来る。この時、θ を[[偏角]]、''t'' を[[一般角]]と言う。偏角でも一般角でも、最終到達点の座標は一致するわけであるから、 : <math>sin(\theta + 2\pi n) = sin \theta</math>
が成り立つ(他の三角関数でも同様)。このことから、三角関数は[[周期関数]]であるという。
===相互関係===
: sin<
: sec<
: csc<
これらは、''P'' が単位円上にあることから、容易に証明できる。
===負角･余角･補角公式===
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これらは加法定理から導かれる。
====半角公式====
これらは倍角公式から導かれる。
三角関数の次数を下げるためにしばしば用いられる。
:<math>\cos^2\alpha = \frac{1 + \cos2\alpha}{2}</math>。
:<math>\sin^2\alpha = \frac{1 - \cos2\alpha}{2}</math>。
:<math>\sin\alpha\cos\alpha = \frac{\sin2\alpha}{2}</math>
::（次数を下げるという意味でここに含めた ===微分公式===
: (''d''/''dx'')sin ''x'' = cos ''x''。
: (''d''/''dx'')cos ''x'' = -sin ''x''。
: (''d''/''dx'')tan ''x'' = sec<sup>2</sup> ''x'' = 1 + tan<sup>2</sup> ''x''。
加法定理から、sin ''x'' の[[導関数]]が cos ''x'' であることが証明できる。さらに余角公式から、cos ''x'' = sin(''x''+π/2) であったから、cos ''x'' の導関数は sin(''x''+π) = -sin ''x'' である。即ち、sin ''x'' は[[微分方程式]] ''d''<sup>2</sup>''y''/''dx''<sup>2</sup> + ''y'' = 0 の、[[特殊解]]である。また、他の三角関数の導関数も、上の事実から簡単に導ける。
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: exp(-''ix'') = cos ''x'' - ''i''sin ''x''
が得られるから、これを連立させて解くことにより、正弦関数・余弦関数の、[[初等関数]]としての表現が可能となる。即ち、
: <math>\cos x = \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}
: <math>\sin x = \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}
この事実を用いて、三角関数の定義域を、複素数全体に拡張することが出来る。まず、
: <math>\cos(ix) = \frac{e^{-x}+e^{x}}{2} = \cosh x
: <math>\sin(ix) = \frac{e^{-x}-e^{x}}{2i} = i\sinh x
である。ここで、cosh ''x'' , sinh ''x'' は、[[双曲線関数]]を指す。この等式は、三角関数と双曲線関数の関係式と捉えることも出来る。任意の複素数 ''z'' は、''z'' = ''x''+''iy'' (''x'',''y''∈'''R''') と表現できるから、加法定理より、
: cos ''z'' = cos(''x''+''iy'') = cos ''x'' cosh ''y'' - ''i'' sin ''x'' sinh ''y''。
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