「ソボレフ空間」の版間の差分

[[数学]]において'''ソボレフ空間'''（ソボレフくうかん、{{lang-en|''Sobolev space''}}）は、関函数からなる[[ベクトル空間]]で、関函数それ自身とその与えられた階数までの導関函数の[[Lpノルム| ''L^p''-ノルム]]を組み合わせて得られるノルムを備えたものである。ここでいう微分を適当な[[弱微分|弱い意味での微分]]と解釈することにより、ソボレフ空間は[[完備距離空間]]、したがって[[バナッハ空間]]を成す。直観的には、ソボレフ空間は（偏微分方程式のような応用範囲に対して）十分多くの導関函数を持つ関函数からなる[[バナッハ空間]]あるいは[[ヒルベルト空間]]であって、関函数の大きさと滑らかさの両方を測るようなノルムを備えたものということである。

ソボレフ空間の名称は[[ロシア人]][[数学者]]の[[セルゲイ・ソボレフ]]に因む。ソボレフ空間の重要性は、[[偏微分方程式]]の解というものは古典的な意味での導関函数を備える[[連続 (数学)|連続関函数]]からなる古典的な空間の中ではなく、むしろソボレフ空間の中にあるとして捉えたほうが自然であるという事実にある。

[[関数 (数学)|関函数]]の滑らかさの基準にはいくつかの種類があり、最も基本的な基準はその[[連続 (函数学)|連続性]]である。より強い判定基準は[[可微分法函数|可微分性]]であり（実際、可微分関函数は常に連続となる）、さらに導関函数の連続性をも込めれば（そのような関函数は [[滑らかな関函数| ''C''¹-級]]であるといわれる）より強い滑らかさの概念が与えられる。 可微分関函数は多くの分野、特に[[微分方程式]]の理論において重要である。しかしながら[[20世紀]]に入ると、そのような ''C''¹-級（あるいは同様な ''C''², ... といった滑らかさのクラスに属する）関函数の空間というものは、微分方程式の研究するための空間として本当に適切なものとは言えないということが理解されるようになる。

まずは[[単位円]] '''T''' 上で定義される 1-次元（1-変数関函数）の場合という最も単純な設定でソボレフ空間を導入することから始める。この場合のソボレフ空間 ''W''^''k'',''p'' は[[Lp空間| ''L''^''p''-空間]]の部分集合であって、''p'' ≥ 1 が与えられたとき関函数 ''f'' とその[[弱微分]]が階数 ''k'' まで有限な[[Lpノルム| ''L''^''p''-ノルム]]を持つような関函数 ''f'' の全体からなるものとして定義される。場合によっては微分を通常の強い意味での微分として扱うこともある。1-次元の問題においては''f'' の (''k''−1)-階導関函数 ''f''^(''k''-1) が殆ど至る所微分可能で、その導関函数の[[ルベーグ積分]]と殆ど至る所一致することを仮定すれば十分である（これによってソボレフ空間の定義が目的とすることとは無関係な[[ゲオルク・カントール|カントール関函数]]のような例を除くことができる）。

を入れることができて、空間 ''W''^''k'',''p'' はこのノルム ‖•‖_''k'',''p'' に関して[[バナッハ空間]]となる。このノルムは、関函数列の最初と最後だけ見れば十分である。つまり、ノルムを

簡単な記述を持つほかのソボレフ空間としては、たとえば開区間 (0, 1) 上で[[絶対連続]]な関函数全体の成す空間 ''W''^1,1(0, 1) や任意の区間 ''I'' 上で[[リプシッツ連続]]な関函数全体の成す空間 ''W''^1,∞(''I'') などが挙げられる。

空間 ''W''^{''k'',∞} はすべて（ノルム付き）[[多元環]]となる。つまりこのソボレフ空間のふたつの関函数の積はふたたびこの空間の元となる。このことは ''p'' が有限の場合には正しくない（たとえば原点において |''x''|^−1/3 のように振舞う関函数は ''L''² に属するが、そのような関函数の積は ''L''² に属さない）。

で定義され、ソボレフ空間 ''H''^''s'' はノルムが有限な関函数全体の空間として定まる。

によって定義され、通常の場合と同様にソボレフ空間がソボレフノルム有限な関函数全体の成す空間として定義される。

ここでは '''R'''^''n'' と '''R'''^''n'' の部分集合 ''D'' 上のソボレフ空間を考える。単位円上での話を実数直線上のものに変えるには、フーリエの公式の技術的な変更のみ行えばよい（基本的には[[フーリエ級数]]を[[フーリエ変換]]に取り替えて、和を積分にする）。多次元への移行は、まさにその定義からしてもっと複雑なものになる。1-次元の場合の、 ''f''^{(''k''−1)} が ''f''^(''k'') の積分になっているという仮定は一般化できない。このことの最も単純な解決法は微分を[[超関函数]]の意味での微分と考えることである。

形式的な定義を以下に与える。''D'' を '''R'''^''n'' の開集合、''k'' を[[自然数]]とし、1 ≤ ''p'' ≤ +∞ とする。ソボレフ空間 ''W''^''k'',''p''(''D'') は ''D'' 上で定義される関函数 ''f'' で任意の[[多重指数]] α (|α| ≤ ''k'') に対して混合[[偏微分]]

として定義することができる（フーリエ変換がユニタリ変換であるという事実を用いる）。しかし、 ''D'' が '''R'''^''n'' あるいはトーラス '''T'''^''n'' のように周期的領域でない場合、非周期敵領域上の関函数のフーリエ変換を定めるのは無理であるから、この定義は十全ではない。しかし幸いにして、本質的に[[ヘルダー連続関函数|ヘルダー連続性]]の ''L''²-類似を用いた分数階ソボレフ空間の内在的な特徴づけが存在する。''H''^''s''(''D'') における同値な内積が

たとえば ''W''^1,1 が連続関函数のみを含むというようなことは、高次元ではもはや正しくない。例えば、1/|''x''| は ''W''^1,1('''B'''³) に属す（'''B'''³ は三次元単位球体）。''k'' > ''n''/''p'' に対する空間 ''W''^''k'',''p''(''D'') は連続関函数のみを含むが、このような ''k'' はこの時点で既に ''p'' と次元 ''n'' の両方に依存する。例えば[[球面極座標]]を用いて簡単に確認できることだが、''n''-次元球体上定義される関函数 ''f'': '''B'''^''n'' → '''R''' ∪ {+∞}

=== ソボレフ関函数の直線上絶対連続性による特徴づけ ===

Ω を '''R'''^''n'' の開集合とし、1 ≤ ''p'' ≤ ∞ とする。関函数が ''W''^1,''p''(Ω) に属すならば、場合によっては測度 0 の集合上での値を変更して、その関函数の '''R'''^''n'' の座標方向に平行な[[殆ど全て]]の直線への制限が[[絶対連続]]であるようにすることができる。逆に、座標方向に平行な殆ど全ての直線への ''f'' の制限が絶対連続ならば、各点ごとの傾き ∇''f'' が[[ほとんど (数学)|殆ど至る所]]存在し、''f'' と |∇''f''| の両方が ''L''^''p''(Ω) に属すとき ''f'' は ''W''^1,''p''(Ω) に属す。特に、このときの ''f'' の弱偏微分と各点ごとの傾きは殆ど至る所一致する。

より強い結果として、これは ''p'' = ∞ においても正しい。''W''^1,∞(Ω) に属する関函数は測度 0 の集合上値を変更することにより局所リプシッツにできる。

=== 境界上での値が消える関函数 ===

Ω を '''R'''^''n'' の開集合とする。ソボレフ空間 ''W''^1,2(Ω) = ''H''¹(Ω) はヒルベルト空間で、重要な部分空間として Ω 上のコンパクト台付き無限回微分可能な関函数全体の成す集合の ''H''¹(''Ω'') における閉包である ''H''¹₀(Ω) を含む。ソボレフノルムは上述のものを簡約して

によって与えられる。Ω が正則な境界を持つとき、''H''¹₀(Ω) は ''H''¹(Ω) に属する関函数で境界上トレースの意味で消えているようなもの全体として記述することができる（[[#ゼロによる拡張|後述]]）。''n'' = 1 のとき、Ω = (''a'', ''b'') を有界区間とすると、''H''¹₀(''a'', ''b'') は閉区間 [''a'', ''b''] 上で定義される

の形の連続関函数全体から成る。ここで、一般化された微分 ''f''′ は ''L''²(''a'', ''b'') に属し、''f''(''b'') = ''f''(''a'') = 0 となるように積分値が 0 となるものである。Ω が有界であるとき、[[ポワンカレ不等式]]によれば定数 ''C'' = ''C''(Ω) が存在して、常に

であり、この埋め込みは連続であるというものである。さらに ''k'' > ''m'' かつ ''k'' − ''n''/''p'' > ''m'' − ''n''/''q'' ならばこの埋め込みは完全連続となる（このことはしばしば'''コンドラコフの定理'''と呼ばれる）。''W''^{''m'',∞} に属する関函数は ''m'' より小さい階数において連続な導関函数をもつから、定理は特にいくつかの導関函数が連続となるようなソボレフ空間に関する条件を与えている。くだけた言い方をすれば、この埋め込みで次元ごとの導関函数の ''L''^''p'' に関する評価は、1/''p'' を重みとする有界性の評価に転換されるということを言っている。

このトレース写像 ''P'' は ''H''^''s''(''X'') を定義域に持つものとして定義され、その像は丁度 ''H''^{''s''−1/2}(∂''X'') となる。厳密に言えば、''P'' ははじめに[[無限回微分可能な関函数]]に対して定義され、それを連続性によって ''H''^''s''(''X'') まで拡張するのである。このトレースを取ることによって「微分が 1/2 だけ減っている」ということに注意。

''X'' をその境界が行儀悪すぎないような（たとえば境界が多様体になっているとか、あるいはより自由だがより曖昧な「錐体条件」を満足するなど）開領域とすると、''X'' 上の関函数を '''R'''^''n'' 上の関函数に写す作用素 ''A'' で

コンパクト台無限回微分可能関函数全体の成す空間 ''C''^∞_''c''(''X'') の ''H''^''s''(''X'') における閉包として空間 ''H''^''s''₀(''X'') を定義する。上述のトレースを用いれば、定義を次のように述べることができる。