Wikipedia

「ハール測度」の版間の差分

履歴の双方向閲覧
← 古い編集新しい編集 →
削除された内容 追加された内容
ビジュアルウィキテキスト
m 218.42.231.9 (会話) による版を Los688 による版へ巻き戻し
rv/v: 合意を無視して強行された218.83.175.129 (会話) による ID:32738483 の版を取り消し原状復帰
1行目:
{{dablink|本項におけるモジュラー関函数は、[[楕円モジュラー関函数]]のような[[保型形式]]論に現れるモジュラー関函数（重み 0 の[[モジュラー形式]]）とは異なる。また劣モジュラかつ優モジュラな集合関函数とも異なる。}}
[[解析学]]における'''ハール測度'''（ハールそくど、{{lang-en-short|''Haar measure''}}）は、[[局所コンパクト]][[位相群]]上で定義される正則[[不変測度]]である。ハンガリーの数学者{{仮リンク|アルフレッド・ハール|en|Alfréd Haar}}にその名を因む。
 
37行目:
局所コンパクト群 ''G'' とその上の左不変ハール測度 &mu; および ''G'' の元 ''g'' に対し、''g'' による右移動 ''R''<sub>''g''</sub> で &mu; を移した ''R''<sub>''g''</sub>&mu; はやはり左不変測度である。したがってハール測度の一意性から
:<math>R_g\mu = \Delta_G(g)\mu</math>
となる ''G'' 上の[[正値関函数]] &Delta;<sub>''G''</sub> が存在する。これを "群 ''G'' 上の" '''母数'''、'''モジュール''' {{lang|la|(''modulus'')}}<ref group="note">{{lang|la|modulus}} はラテン語で「尺度・規模」の意で、英語の {{lang|en|module}} に相当する。母数はその訳語であるが、この場合、絶対値やノルムと言ったほうが馴染みがあるかもしれない。</ref>あるいは'''モジュラー関函数''' {{lang|en|(''modular function'')}}<ref group="note">[[モジュラー関函数]]というと、重みが 0 の[[モジュラー形式]]を指すことが多いが、それとは異なる。</ref>と呼ぶ。モジュールは[[トーラス|絶対値 1 の複素数全体の成すコンパクト群]] ''T''<sup>1</sup> を表現加群とする ''G'' の表現（群の指標）を与え、その意味で'''モジュラー指標''' {{lang|en|(modulus character)}} と呼ばれることもある。また、
:<math>\Delta_G^{-1}\mu(x) = \mu(x^{-1})</math>
は右不変ハール測度であり、この式はハール測度 &mu; の採り方には依らないから、この意味でモジュール &Delta;<sub>''G''</sub> は「左右のハール測度のずれ」を測るものであるとみることもできる。特に &Delta;<sub>''G''</sub> が恒等的に 1 に等しいとき、局所コンパクト群 ''G'' は両側不変なハール測度を持ち、'''母数 1 '''あるいは'''単模''' {{lang|en|(''unimodular'')}} であるといわれる。
50行目:
は加法群 ''K'' 上の自己同型であるのでそのモジュールを考えることができるが、これを mod<sub>''K''</sub>(''s'') と記す：
:<math>\mathrm{mod}_K(s) := \mathrm{mod}(L_s).</math>
さらに、mod<sub>''K''</sub>(0<sub>''K''</sub>) = 0<sub>''K''</sub> と置いて ''K'' 上の関数に拡張すると、これは正の実数全体への[[連続関函数]]となる。
 
この局所コンパクト体上のモジュールは[[絶対値]]の概念の自然な一般化である。実際、実数体 '''R''' 上のルベーグ測度 ''dx'' に対して任意の区間 (''a'', ''b'') 上の関数 ''f''(''x'') を与えるとき
「https://ja.wikipedia.org/wiki/ハール測度」から取得