「利用者:Trrlover/商空間」の版間の差分
削除された内容 追加された内容
多言語リンク、カテゴリを除去 |
編集の要約なし |
||
1行目:
{{for|quotient spaces in linear algebra|quotient space (linear algebra)}}
In [[topology]] and related areas of [[mathematics]], a '''quotient space''' (also called an '''identification space''') is, intuitively speaking, the result of identifying or "gluing together" certain points of a given space. The points to be identified are specified by an [[equivalence relation]]. This is commonly done in order to construct new spaces from given ones.
[[数学]]、特に[[位相幾何学]]や関連する分野においての'''商空間''' ('''quotient space''', '''identification space''' とも呼ばれる) は、直感的には、ある空間に対して、特定の点 (一点とは限らない) 同士を互いに「貼り付ける」ことにより得られる空間である。貼り付ける点同士はある[[同値関係]]によって指定される。ある空間から別の空間を生成する方法として、一般的に用いられる。
== Definition ==
== 定義 ==
Suppose ''X'' is a [[topological space]] and ~ is an [[equivalence relation]] on ''X''. We define a topology on the [[quotient set]] ''X''/~ (the set consisting of all [[equivalence class]]es of ~) as follows: a set of equivalence classes in ''X''/~ is [[open set|open]] if and only if their [[union (set theory)|union]] is open in ''X''.
This is the '''quotient topology''' on the quotient set ''X''/~.
''X'' を[[位相空間]], ~ を ''X'' 上の[[同値関係]]とする。[[商集合]] ''X''/~ は、''X'' の ~ についての同値類を点とする集合であるが、この集合について、位相を以下のように定める。
: ''X''/~ の部分集合 ''S'' について、S の要素の同値類全体の [[和集合]] が ''X'' 内で開集合であるとき、かつそのときに限り、''S'' は ''X''/~ で開集合である
これを、商集合 ''X''/~ 上の'''商位相'''と呼ぶ。
Equivalently, the quotient topology can be characterized in the following manner: Let ''q'' : ''X'' → ''X''/~ be the projection map which sends each element of ''X'' to its equivalence class. Then the quotient topology on ''X''/~ is the [[finest topology]] for which ''q'' is [[continuous function (topology)|continuous]].
商位相を以下のように特徴づけることもできる。''q'': ''X'' → ''X''/~ を、''X''上の各点について、その点が属する同値類を対応付ける射影とする。このとき、''X''/~ 上の商位相は、''q'' を連続にする位相のうち、最も強い位相である。これは上の定義と同値である。
Given a [[surjective]] map ''f'' : ''X'' → ''Y'' from a topological space ''X'' to a [[Set (mathematics)|set]] ''Y'' we can define the quotient topology on ''Y'' as the finest topology for which ''f'' is continuous. This is equivalent to saying that a subset ''V'' ⊆ ''Y'' is open in ''Y'' if and only if its [[preimage]] ''f''<sup>−1</sup>(''V'') is open in ''X''. The map ''f'' induces an equivalence relation on ''X'' by saying ''x''<sub>1</sub>~''x''<sub>2</sub> [[if and only if]] ''f''(''x''<sub>1</sub>) = ''f''(''x''<sub>2</sub>). The quotient space ''X''/~ is then [[homeomorphic]] to ''Y'' (with its quotient topology) via the homeomorphism which sends the equivalence class of ''x'' to ''f''(''x'').
位相空間 ''X'' から (位相が導入されていない) 集合 ''Y'' への[[全射]] ''f'': ''X'' → ''Y'' について、''f'' が連続となる位相のうち最も強い位相として ''Y'' 上の商位相を定めることができる。これは、''V'' ⊆ ''Y'' が開集合であることを ''f'' の[[逆像]] ''f''<sup>−1</sup>(''V'') が開集合であることで定義することによって定まる位相と同じである。''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub> ∈ ''X'' について、''f''(''x''<sub>1</sub>) = ''f''(''x''<sub>2</sub>) のとき ''x''<sub>1</sub> と ''x''<sub>2</sub> が同値である、とする同値関係 ~ を定めることができるが、 ''x'' を ''f''(''x'') の同値類へ写す写像により、商空間 ''X''/~ は (''f'' についての商位相が導入された) ''Y'' と[[同相]] である。
In general, a surjective, continuous map ''f'' : ''X'' → ''Y'' is said to be a '''quotient map''' if ''Y'' has the quotient topology determined by ''f''.
一般に、位相空間 ''X'', ''Y'' 間の連続な全射 ''f'': ''X'' → ''Y'' は、''Y'' が ''f'' による商位相を持つときに '''商写像''' と呼ばれる。
== Examples ==
| |||