「エネルギー・運動量テンソル」の版間の差分

エネルギー・運動量テンソルは[[ネーターの定理]]により、時空の併進対称性の保存電流(ネーターカレント)として定められる。
 
[[作用積分]]が
[[ラグランジアン]]密度が <math>\mathcal{L} = \mathcal{L}(\phi,\partial\phi)</math> と書かれているとき、時空の微小な併進 x → x' = x + &xi; に対して、&phi;'(x')=&phi;(x) が成り立つ。
 
:<math>S[\phi]= \int d^4x\, \mathcal{L}(\phi,\partial\phi)</math>
 
[[ラグランジアン]]密度が <math>\mathcal{L} = \mathcal{L}(\phi,\partial\phi)</math> と書かれているとき、時空の微小な併進 x → x' = x + &xi; に対して、&phi;'(x')=&phi;(x) が成り立つ。
従って、場は
 
:<math>\delta_\xi\phi(x) = \phi'(x)-\phi(x)=\phi(x-\xi)-\phi(x)
=-\xi^\mu\partial_\mu\phi(x)</math>
 
と変換される。
エネルギー・運動量テンソルは
 
*<math>T^\nu_\mu := \frac{\partial\mathcal{L}}{ \partial(\partial_\nu\phi)} \partial_\mu\phi - \delta^\nu_\mu \mathcal{L}</math>
 
となる。
 
別の定義の仕方として、[[計量]]の変分により定義する方法がある。
作用積分が
 
:<math>S[g,\phi] = \int d^4x\, \mathcal{L}(g,\partial g,\phi,\partial\phi)</math>
 
と書かれているとき、計量の変分
 
:<math>g^{\mu\nu}(x) \to g'^{\mu\nu}(x)=g^{\mu\nu}(x)+\delta g^{\mu\nu}(x)</math>
 
に対して、
 
:<math>\frac{1}{2}\sqrt{-g}T_{\mu\nu}
= \frac{\delta S}{\delta g^{\mu\nu}(x)}
= \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial g^{\mu\nu}}
-\partial_\alpha \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\alpha g^{\mu\nu})}</math>
で定義される。
 
<!-- これら二つの定義は、[[一般相対性理論]]により、時空の並進
:<math>x \to x' = x+\xi(x)</math>
と、計量の変分が
:<math>\delta g^{\mu\nu}
=-\xi^\alpha\partial_\alpha g^{\mu\nu}
+\partial^\mu\xi^\nu+\partial^\nu\xi^\mu</math>
と関連付けられる為等価である。-->
 
== 各成分の意味 ==
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