Wikipedia

「星型多角形」の版間の差分

履歴の双方向閲覧
← 古い編集新しい編集 →
削除された内容 追加された内容
ビジュアルウィキテキスト
編集の要約なし
参考文献からの丸写しと思われる記述を、整理して再記述。
1行目:
[[画像:Pentagram.svg|right|120px|thumb|right|[[五芒星]]（星型）五芒星]]）]]
[[画像:Hexagram.svg|right|120px|thumb|[[六芒星]]（二複合三角形型）六芒星]]]]▼
'''星型多角形'''とは、[[ユークリッド幾何学|平面幾何学]][[図形]]の一種で、[[多角形]]の各[[辺]]を延長し、得られた交点を結んだ図形を言う。
 
== 概要 ==
[[多角形]]の、各[[辺]]を延ばしていった場合に何回か交わったあとは交わらなくなるが、このときにできる[[図形]]が'''星型多角形'''である（[[正三角形]]や[[正方形]]など、どこまで延ばしても交わらないものからは、それ自身の一種類しか星型多角形は作れない）。また、このような操作を、'''星型化'''という。
[[三角形]]・[[四角形]]では辺の延長上に交点が現れないため、その図形自身のみが星型多角形となる。[[五角形]]・[[六角形]]では交点が一回現れ、それぞれ[[五芒星]]・[[六芒星]]と呼ばれる。
また、このような操作を、'''星型化'''という。星型多角形では、延長でできた[[鋭角]]のみを[[内角]]とする。▼
 
*[[==星型正多角形]]==▼
▲星型多角形では、延長でできた[[鋭角]]のみを[[内角]]とする。
また、星型多角形の一種に[[星型正多角形]]というものもある。これはり、[[正多角形]]からできたものであり、幾つかの正多角形に分解できない図形をいう。つまり、正偶数角形から作った星型正多角形は、最低二回は交わっていることになる（一回しか交わっていない星型偶数角形は、その偶数の半分の多角形二枚に分解できる）。▼
 
==芒星図形==
▲また、[[星型正多角形]]というものもある。これは、[[正多角形]]からできたものであり、幾つかの正多角形に分解できない図形をいう。つまり、正偶数角形から作った星型正多角形は、最低二回は交わっていることになる（一回しか交わっていない星型偶数角形は、その偶数の半分の多角形二枚に分解できる）。
五以上の正多角形の各辺を左右に延ばした図形を芒星と呼ぶ場合がある<ref>横田, 形の科学会会誌,２５-１,pp.33-34,（2010）</ref> 。
 
また、七以上の正多角形を元とした場合にはその交点は複数回出現するため、複数の芒星図形が存在することになる。
▲[[画像:Hexagram.svg|right|120px|thumb|[[（複合三角形型）六芒星]]]]
形成されるN個の芒星図形は　、奇数nの場合、N=(n-3)/2,　偶数nの場合、N=(n-4)/2である。▼
 
芒星には以下の種類がある。
正ｎ（>=５）角形の各辺を左右に延ばし、それぞれの交点を新たな頂点（芒なぎ）
*星型正多角形
とする形（グラフ）を芒星とすると、
*複合正多角形型（正多角形が複合したもの）
 
*複合星型正多角形（星型正多角形が複合したもの）
交点を得られなくなるまでに　N個の芒星が形成し、
作図される芒星図形は、以下のようになる。
芒星の型には　星型ｎ芒星、複合正多角形型ぼう星、複合星型ぼう星があり。
{|border=1|
いずれも　交差滑らさ則一筆巡路/Loop/Cycle/Kolamから構成され、
|-
星型ｎ芒星はLoop=１の完全な一筆巡路である。
!元図形||第一交点||第二交点||第三交点||第四交点
 
|-
▲形成されるN個の芒星は　奇数nの場合、N=(n-3)/2,　偶数nの場合、N=(n-4)/2である。
|[[正五角形]] ||[[五芒星|星型正五角形]]
-ー横田, 形の科学会会誌,２５-１,pp.33-34,（2010）-ー
|-
 
|[[正六角形]] ||[[六芒星|二複合正三角形型]]
これを作図してみるに
|-
 
＊５|[[正七角形から　]] ||星型５ぼう正七角形||星型正七角形
|-
 
　６|[[正八角形から　]] ||二複合３四角形型６ぼう||星型正八角形
|-
 
|[[正九角形]] ||星型正九角形||三複合正三角形型||星型正九角形
＊7角形から　星型７ぼう星 → 星型７ぼう星（同じ芒数でも　角度が異なっている）
|-
 
　8|[[正十角形から　]] ||二複合4正五角形型 → ||星型8ぼう正十角形||二複合星型正五角形
|-
 
　9|[[正十一角形から　]] ||星型9ぼう星 → 複合3正十一角形||星型 → 正十一角形||星型9ぼう正十一角形||星型正十一角形
|-
 
　１０|[[正十二角から　形]] ||二複合５六角形型 → 星||三複合四角形型１０ぼう星 → ||四複合星三角形型５ぼう||星型正十二角形
|}
 
作図される芒星図形に複合型を含むか否かについては、構成する複合図形は頂点の数の[[素数]]である必要があるため、頂点の数が[[素因数]]の場合には複合型を生成しないことは自明である。
＊11角から　星型１１ぼう星 → 星型１１ぼう星 → 星型１１ぼう星 → 星型１１ぼう星
 
　１２角から　複合６角形型 → 複合４角形型 → 複合３角形型 → 星型１２ぼう星
 
などから、
 
ｎが素数のとき＊は、全て星型ｎぼう星で、
 
ｎが素数でないときは、複合多角形型、複合星型などを含め、n=７以上では必ず星型ｎぼう星
を得ることが予想される。
 
五芒星はなかでも　黄金比を内在していたり、東（陰陽五行説）西の
魔よけ符（桔梗紋）ともあって、美的に使われている。
 
== 関連項目 ==
▲*[[星型正多角形]]
*[[星型多面体]]
 
*[[六芒星]]
== 参考文献 ==
<references/>
 
[[Category:多角形|ほしかたたかつけい]]
「https://ja.wikipedia.org/wiki/星型多角形」から取得