「プリンプトン322」の版間の差分

'''プリンプトン322'''(''Plimpton 322'')とは[[バビロニア数学]]について記された[[粘土板]]のもっと最も有名なもののひと1つである。呼び名の由来は[[コロンビア大学]]にあるG・A・プリンプトンの収集の粘土板の、第322番目のものであることからである。

およそ50万ものバビロニアの粘土板が19世紀初めから発掘されてきたが、そのうち内の数千のものが数学の性質についてのものだった。この粘土板は[[紀元前1800年]]ごろに書かれたものとされ、4列15行の表にその時代の[[楔形文字]]で数字が記されている。

プリンプトン322はところどころ所々欠損している[[粘土板]]であり、およそ幅13センチメートル、高さ9センチメートル、厚さ2センチメートルである。ニューヨークの出版業者ジョージ・A・プリンプトンが考古学商エドガー・J・バンクスから1922年ごろに購入した。そして1930年代中盤、彼のほかのコレクションと共に[[コロンビア大学]]に遺贈された。バンクスによると、その粘土板はテル・センケレ（イラク南部の都市、旧[[ラルサ]]）から見つ付かったという。<ref>Robson (2002), p. 109.</ref>

この粘土板が紀元前1800年ごろ頃に書かれたとされているのは、楔形文字の書式を元に推定されたものである。ロブソン(2002)はこの書式は「4000から3500年前のイラク南部の文書に典型的に見られるもの」と書いている。特に、はっきりと日付が明記されているラルサ出土のほかの粘土板との類似性からも、プリンプトン322は紀元前1822年～1784年に書かれたと推定される。<ref>Robson (2002), p. 111.</ref>ロブソンはプリンプトン322が、数学的というよりもむしろ行政的な文章と同じ形式で書かれていることを指摘している。<ref>Robson (2002), in ''American Mathematical Monthly'', p. 110.</ref>

プリンプトン322の主な内容は4列15行にわたって記された数の表であるが、その数はバビロニアの[[六十60進法]]で記されている。第四4列は単に1から15の行番号を示す。第2列と第3列は残存していて完全に読み取れる。しかし、端の第一1列は欠損している。それを推測して補うのに矛盾しない二2通りの手段があるが、それらは単にそれぞれの数の先頭に1を付け加えるかどうかの違いである。次に表に書いてある数字を示す。括弧内は補った1である。

これら四列の左に更にまだ欠けている列があると考えることもできる。これらの数の六十60進法から十10進法への換算はさらに曖昧である。それはバビロニアの六十60進法の表記は各数が60の何乗を表す桁のものであるかを表すのに特化していなかったからである。

各行において第二2列の数字は[[直角三角形]]のもっと最も短い辺の長さ''s''、第三3列の数字は[[斜辺]]の長さ''d''であると解釈することができる。このとき第一1列の数はその三角形の最も長い辺の長さを''l''と置いた時の分数<math>\scriptstyle \frac{s^2}{l^2}</math>もしくは<math>\scriptstyle \frac{d^2}{l^2}</math>の値となる。しかし学会ではこれらの数字がどのようにして生成されたかについて異論がある。

1951年、オットー・E・ノイゲバウアー([[:en:Otto E. Neugebauer]])はこの表の数がピタゴラス数をなしていることを指摘し、[[数論]]の立場からの解釈を主張した。例えば第十一11行は短い辺が3/4で斜辺が5/4の三角形（つまり辺の比が3:4:5の直角三角形）を表していると解釈できる。また、[[互いに素]]な数''p'',''q''についてピタゴラス数は(''p²-q², 2pq, p²+q²'')と表わされることに基づくと、第十一行はこれに''p=1'',''q=1/2''と置いたものともいえる。ノイゲバウアーが主張するように、各行は正則数（[[:en:regular number]]、60の累乗の約数）の組(''p'',''q'')から生成される。この''p''と''q''が正則であるという特質は分母が正則であるということを導き出し、そして第一1列の六十60進法の分数の表記を完成させる。ノイゲバウアーの説明はコンウェイとガイ（1996）にも例として引用された一1つである。しかし、ロブソンが指摘するように、ノイゲバウアーの理論はどのようにしてこの''p'',''q''が選ばれたのかを説明していないことである。たが互いに素な正則数の組は60までには92組あるが、そのうち内15組しか表に記載されていない。さらに、なぜこの順番で表に記されたか、第一1列の数が何の目的で使われたかを説明していない。

1995年、ジョイスは[[三角関数]]と関連付けて説明した。第一1列の数はもっと最も短い辺の対角の余弦または正接(数の先頭に1を補うかどうかにより決まる)の二2乗であり、その角の大きさは各行間ではおよそ1度刻みで増加しているとする。しかし、ロブソンは言語学の立場からこの理論を「概念的で時代錯誤」と主張している。その理論が当時のバビロニアの数学の記録に存在しない、他の考えに基づくところが多いからである。

ここで、''v''₁=''c''/2, ''v''₂=''v''₁², ''v''₃=1+''v''₂, ''v''₄=''v''₃^1/2とおく。そうすると、''x''=''v''₄+''v''₁, 1/''x''=''v''₄-''v''₁と表わされる。

これをもと元に、プリンプトン322の列は次のような値として解釈される。

番号順の正則数の''x''と1/''x''について、第一1列、第二2列、第三3列はそれぞれ''v''₃、''v''₁、''v''₄となる。例えば、第十一11行目は''x''=2のときと表わされる。この解釈では、第一1列の左側の欠けた部分の数も補完することができる。この解釈においては、四4列のさらに左にあって欠けている列には正則数である''x''や1/''x''が番号順に現れる。