「曲線あてはめ」の版間の差分

'''曲線あてはめ'''または'''カーブフィッティング'''（{{lang-en-short|curve fitting}}）<ref name=honma>本間　仁,春日屋　伸昌「次元解析・最小二乗法と実験式」コロナ社(1989)</ref><ref name=kagawa>加川 幸雄,霜山 竜一「入門数値解析」朝倉書店(2000)</ref><ref name=Jhon>John R. Taylor、林 茂雄、 馬場 凉「計測における誤差解析入門 」東京化学同人(2000)</ref><ref name=yoshi>吉沢 康和「新しい誤差論―実験データ解析法 」共立出版 (1989/10) </ref>は、実験的に得られたデータまたは制約条件に最もよくあ当てはまるような曲線を求めること。'''最良あてはめ、曲線回帰'''とも。一般に[[内挿]]や[[回帰分析]]を用いる。場合によっては[[外挿]]も用いる。回帰分析で曲線を求める場合、その曲線はデータ点を必ず通るわけではなく、曲線とデータ点群の距離が最小になるようにする。曲線あてはめによって得られた曲線を、近似曲線という。特に回帰分析を用いた場合には回帰曲線という。現実の実験データは直線的ではないことが多いため散布図 、近似曲線を求める必要性は極めて高いが、統計学の教科書が数多くあるなか中、理論的な解説をした成書が殆どない分野である。

'''われわれ我々が考えるべき問題は'''、実験データを実験を説明する「[[説明変数]]」と「[[目的変数]]」に分類した上で、説明変数<math>\textbf{x}</math> と、目的変数yの関係

\begin{matrix}

{x}_{1}x_1\\

{x}_{k}x_k\\

\end{matrix}

実験データは、説明変数に関するデータ<math>{\textbf{x}}_{1}_1 ,\cdots ,{\textbf{x}}_{n}_n</math>

と目的変数に関するデータ<math>{y}_{1}y_1 ,\cdots ,{y}_{n}y_n</math>の組、

<math>({y}_{1}y_1 ,{\textbf{x}}_{1}_1 ),\cdots ,({y}_{n}y_n ,\textbf{x}_n)</math> の形で得られる。また、j番目の測定条件 <math>\textbf{x}}__i</math> の第i成分を <math>x_{nij})</math> で表すものとする。

'''われわれ我々が考えるべき問題'''は、適当な <math>\alpha</math> 個のパラメータ <math>a_1, \cdots ,a_{\alpha}</math> と、k+ <math>\alpha</math> 変数の関数 <math>f(\textbf{x}, \textbf{a} )</math> を考え、 <math>\textbf{a}</math> の値を調整し

:<math>S(\textbf{a} )=\sum_{j=1}^{n} |{y}_{i}y_i -f({\textbf{x}}_{j}_j ,\textbf{a} ){|}^{2}</math>　(1-1)

を最小とするような、<math>{\textbf{a}}</math> を求める問題に帰着される<ref name=honma/>。このSの平方根 <math>\sqrt{S}</math> のことを、「関数当てはめ時の誤差」という。ここで

\begin{matrix}

{a}_{1}a_1\\

{a}_a_{\alpha}\\

\end{matrix}

のことを、'''フィッティングパラメータ'''と言う。また、関数Sを考えるときには <math>(y_1 ,\textbf{x}_1 ),\cdots ,(y_n ,\textbf{x}_n )</math> は、もはや定数ベクトルでしかないことに注意されたい。飽くまで関数Sの変数は <math>a_1,\cdots a_{\alpha}</math> である。

尚、Sを定義するにあたり、各データに対して、適当な定数（正または0）<math>{w}_{1}w_1 ,\cdots , {w}_{n}w_n</math> によって重みを付け、

:<math>S(\textbf{a} )= \sum_{j=1}^{n}{w}_{j} w_j |{y}_{i} y_i -f({ \textbf{x}}_{j}_j , \textbf{a} ){|}^{2}</math>　(1-1')

のようにすることもある。この方法によって、y方向に誤差(Yエラーバー)がある場合や、「測定回数の異なるデータの平均」の比較が可能であるが、x方向にも誤差(Xエラーバー)がある場合には、対応できない。x方向にも誤差がある場合には、デミングの方法<ref name=honma/>を用いる。尚、(1-1)は「(1-1')において、すべ全てのデータの重みづけが等しい状況」を意味することに注意されたい。

'''われわれ我々が考えるべき問題'''は、、(1-1)あるいは(1-1')の関数Sの[[極値問題]]<ref name=shima>島 和久「多変数の微分積分学」近代科学社 (1991/09) </ref> に他ならない。一般に、極値問題は解を持たない可能性があり、また、解が存在したとして、重解の可能性もあるが、一般論として、以下の定理が知られている。

「もしも、<math>{\textbf{a}}_{0}_0</math> で、Sが極値をとるとすると、<math>{\rm grad} S({ \textbf{a}}_{0}_0 )=\textbf{0}</math> である。」

この定理は、最適なフィッティングパラメータに対する必要条件を与える。極小値を与えるような <math>{\textbf{a}}</math> の十分条件としては、

「Sの <math>{\textbf{a}}</math> における[[ヘッセ行列]]が[[正定値(正値, 正定符号)]]となること」<ref name=shima/>

がある。無論、極小値が仮に存在したとして、それらが必ずしも最小であるとは限らない。たと例えば、最適な <math>{\textbf{a}}</math> が無限遠に存在する可能性もある。

(1-1)のSを最小とするようなフッティングパラメータ <math>{\textbf{a}}_{0}_0</math> が得られた場合には、以下の <math>g(\textbf{x})</math> を、最適関数（xがスカラーの場合には、最適曲線）という。

:<math>g( \textbf{x} )=f( \textbf{x} ,{ \textbf{a}}_{0}_0 )</math> (1-2)

このgは、説明変数 <math>\textbf{x}</math> と目的変数yの間に一1つの関数関係を与えている。つまり、このgは、

<math>\textbf{x}</math> とyの関数であり、フィッティングパラメータは定数ベクトルと考える。

一般には、「必ず <math>(y,\textbf{x} )=(0,\textbf{0} )</math> を通る」といった[[付帯条件]]がつ付いている場合がある。このような場合には、[[ラグランジュの未定乗数法]]<ref name=shima/>が最適なフィッティングパラメータを探る上で手が掛かりを与える。

これは、傾斜 ''a'' の直線である。一般に、このような直線は''x''座標の異なる2点によって一意に定まる。したがって1次多項式は、''x''座標の異なるデータ点がちょうど2個ある場合に、正確にそれらを通る直線となる。無論、最小二乗法を使う場合には、データ点が何個あっても、最適な直線が一意に定まる。ただし、最適な直線とは、残差平方和が最小というだけで、そのデータの素性を最もよくあらわ表しているとは限らない。

この場合、''x''座標の異なる任意の3点にあ当てはめることができる。

この場合、''x''座標の異なる任意の4点にあ当てはめることができる。

また、1次多項式は1つの点と角度の制約にあ当てはめることができ、3次多項式は2つの点と1つの角度、1つの曲率の制約にあ当てはめることができる。他にも様々な制約の組み合わせで各種次数の多項式をあ当てはめることができる。

ここで、なぜ近似ではなく多項式の次数を高くして正確にあ当てはめようとしないのかという疑問が生じる。それには、以下のような理由がある。

* 正確な一致が存在するとしても、それを計算できるとは限らない。使用しているアルゴリズムによっては計算が発散してしまって解を求められなかったり、非常に時間がかかることがある。

* データそのものに誤差がある場合、各点を正確に通る曲線よりも近似的な曲線の方が好ましい場合がある。

* [[ルンゲ現象]]が起きやすい。''n''次多項式曲線の[[変曲点]]の数は最大 ''n-2'' である。したがって、一般に次数が低いほうが曲線はより滑らかになる。次数が高くても滑らかな曲線にすることは可能だが、次数が低いほう方が簡単である。

ここまで、多項式の次数が制約数より少ない場合を述べてきたが、逆に多項式の次数が制約数より大きい場合はどうなるだろうか。上述の高次多項式の問題がすべ全て生じることになるだけでなく、解が一意に定まらないという問題も生じる。そこから1つの曲線を選択するのはソフトウェアや人間の役割となる。このため、近似でよい場合は次数をなるべく低く設定するのが一般に最善とされている。

場合によっては、[[円錐曲線]]（円、楕円、放物線、双曲線など）や[[三角関数]]（サイン、コサインなど）の曲線を使うこともある。例えば、空気抵抗を無視すると、重力の影響下にある物体の軌跡は放物線を描く。したがって、そのような物体の観測結果に放物線をあ当てはめることは意味がある。潮の干満は正弦波のパターンを描くので、干満に関するデータには正弦曲線をあ当てはめることができる。あるいは、より正確には月と太陽の影響を考慮して、2種類の正弦曲線の合成をあ当てはめることもある。

上述の技法は非線形なステップを1つ追加することで[[楕円]]に一般化でき<ref>Paul Sheer, A software assistant for manual stereo photometrology, M.Sc. thesis, 1997</ref>、高速に様々な向きと[[離心率]]の楕円を見つ付けることができる。