「ポアソン方程式」の版間の差分
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{\partial^2 \over \partial x_{n}^{\,2} }u(x_1,\cdots,x_n) = f(x_1,\cdots,x_n)
</math>
特に''f'' が恒等的に0である場合には、[[ラプラス方程式]]に帰着される。
[[ラプラスの演算子]]'''Δ''' または[[ナブラ]]∇ を用いれば、
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==解の構成==
ポアソン方程式は対数ポテンシャルやニュートン・ポテンシャルを用いることで、有界領域の内部における解の例（特殊解）''u''<sub>0</sub>を構成することができる。こうした特殊解は物理や工学での応用上、重要である。さらに、いくつかの条件の下では、全領域（無限境界）における解となる。また、こうした特殊解を用いることで、ポアソン方程式の[[境界値問題]]をより単純なラプラス方程式の境界値問題に帰着させることができる。
;2次元▼
▲;2次元の場合
2次元空間'''R'''<sup>2</sup>の有界領域''Ω'' で''f'' (''ξ'',''η'' )が[[滑らかな関数|1階連続微分可能]]とすると、
:<math>
\begin{align}
\log{\frac{1}{ \sqrt{(\xi-x)^2+(\eta-y)^2} }} d \xi d \eta \\
& = -\frac{1}{2\pi}\iint_{\Omega}f(\xi, \eta, \zeta)
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</math>
で与えた''u''
:<math>\Delta
を満たす。ここで積分内の項log(1/''r'' )を'''対数ポテンシャル'''と呼ぶ。上記の関係式は、[[ディラックのデルタ関数]]による形式的な
:<math> \Delta_{(x,y)} \biggl (\log{\frac{1}{r}} \biggr ) = - 2 \pi \cdot \delta(x-\xi, y-\eta) </math>
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から理解することができる。
;3次元の場合
3次元空間'''R'''<sup>3</sup>の有界領域''Ω'' で''f'' (''ξ'',''η'',''ζ'' )が1階連続微分可能とすると、
:<math>
\begin{align}
\frac{f(\xi, \eta, \zeta)}{ \sqrt{(\xi-x)^2+(\eta-y)^2+(\zeta-z)^2} }
d \xi d \eta d \zeta \\
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</math>
で与えた''u''
:<math> \Delta
を満たす。ここで積分の中に現れる項1/''r'' を'''ニュートン・ポテンシャル'''と呼ぶ。上記の関係式は、2次元の場合と同様にディラックのデルタ関数による形式的な
:<math>\Delta_{(x,y,z)} \biggl ( \frac{1}{r} \biggr ) = - 4 \pi \cdot \delta(x-\xi, y-\eta, z -\zeta) </math>
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から理解することができる。
;n次元の場合
より一般的には、n次元空間'''R'''<sup>n</sup>(''n'' ≧3)の有界領域''Ω'' で''f'' (''ξ''<sub>1</sub>,…,''ξ''<sub>n</sub>)が1階連続微分可能とすると、
:<math>
= -\frac{\Gamma \bigl (\frac{n}{2}\bigr)}{ 2(n-2)\pi^{\frac{n}{2}} }
\int \cdots \int_{\Omega} f(\xi_1, \cdots, \xi_n) r^{2-n} \, d \xi_1 \cdots d \xi_n
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</math>
で与えた''u''
:<math> \Delta
を満たす。
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