Wikipedia

「第一可算的空間」の版間の差分

履歴の双方向閲覧
← 古い編集新しい編集 →
削除された内容 追加された内容
ビジュアルウィキテキスト
内部リンク増設
m yo, cat
1行目:
[[数学]]の[[位相空間論]]において、'''第一可算空間'''（だいいちかさんくうかん、{{lang-en-short|''first-countable space''}}）とは、"'''第一可算公理'''"を満たす[[位相空間]]のこと。位相空間 ''X'' が第一可算公理を満たすとは、「各点 ''x'' が高々[[可算]]個のな近傍からなる[[基本近傍系]]（局所基）をもつこと」を指す。すなわち、''x'' の開近傍の可算列 ''U''<sub>1</sub>, ''U''<sub>2</sub>, …があって、''x'' のどんな開近傍 ''V'' も列のある要素 ''U''<sub>''i''</sub> の部分集合となっているということである。▼
[[数学]]の[[位相空間]]論において、'''第一可算的空間'''とは、
"第一可算公理"を満たす位相空間のこと。
▲位相空間''X''が第一可算公理を満たすとは、各点''x''が高々[[可算]]個の近傍からなる[[基本近傍系]]をもつことを指す。すなわち、''x''の開近傍の可算列''U''<sub>1</sub>, ''U''<sub>2</sub>, …があって、''x''のどんな開近傍''V''も列のある要素''U''<sub>''i''</sub>の部分集合となっているということ。
 
== 例と反例 ==
 
普通に使われる空間のほとんどは第一可算的である。特に、[[距離空間]]はすべて第一可算的である。というのは、各点 ''x'' に対し、それを中心とする半径 1/''n'' (''n'' は正の整数) の開球の系列は ''x'' の可算な基本近傍系となっている。
 
第一可算的でない空間の例として、[[補有限位相]]を入れた ([[実数]]直線などの) 不可算集合がある。
 
別の反例としては[[順序数]]空間]] ω<sub>1</sub>+1 = [&#x5b;0, ω<sub>1</sub>]&#x5d; がある。ここで ω<sub>1</sub> は[[最小の不可算順序数]]である。
 
点 ω<sub>1</sub> は<nowiki>[</nowiki> &#x5b;0, ω<sub>1</sub>) の[[極限点]]点であるが、そのどんな可算[[点列]]を持ってきても ω<sub>1</sub> を極限としては持てない。特に、
ω<sub>1</sub>+1 = [&#x5b;0, ω<sub>1</sub>]&#x5d; の点である ω<sub>1</sub> は可算な基本近傍系を持てない。部分空間である ω<sub>1</sub> = <nowiki>[</nowiki>&#x5b;0, ω<sub>1</sub>) は第一可算的である。▼
どんな可算[[点列]]を持ってきてもω<sub>1</sub>を極限としては持てない。特に、
▲ω<sub>1</sub>+1 = [0,ω<sub>1</sub>]の点であるω<sub>1</sub>は可算な基本近傍系を持てない。部分空間であるω<sub>1</sub> = <nowiki>[</nowiki>0,ω<sub>1</sub>)は第一可算的である。
 
[[商位相空間]]、<math> \mathbb{'''R}'''/\mathbb{'''N}</math>''' （<math>\mathbb{R}</math>実数直線上の<math>\mathbb{N}</math>自然数全体を一つの点と見なした空間）は第一可算的でない。しかしながら、この空間には「任意の部分集合 ''A'' とその閉包の任意の点 ''x'' に対し、''A'' の点列で ''x'' に収束するものがある」という性質がある。このような性質をもつ空間を[[フレシェ-ウリゾーン空間]]という。
 
== 性質 ==
 
第一可算的空間の最も重要な性質の一つが、部分集合 ''A'' の閉包に点 ''x'' が属することの必要十分条件は、''A'' の点列 {''x''<sub>''n''</sub>} で ''x'' に収束するものがあることである。このことから、[[極限]]や[[連続性]]性に関する主張が証明される。
 
特に、''f'' を第一可算的空間の上の写像とすると、''f'' が ''x'' での極限値 ''L'' をもつことと、''x'' に収束する点列 {''x''<sub>''n''</sub>} ですべての ''n'' に対して ''x'' &ne; ''x''<sub>''n''</sub> であるようなものをどのようにとっても点列 {''f''(''x''<sub>''n''</sub>)} が ''f''(''xL'') に収束することとは同値である。また、第一可算空間上の写像 ''f'' が連続となるのは、''x''<sub>''n''</sub> &rarr; ''x'' なるとき常に ''f''(''x''<sub>''n''</sub>) &rarr; ''f''(''x'') が成り立つ場合に限る。
 
第一可算的空間では[[点列コンパクト空間|点列コンパクト性]]と[[可算コンパクト空間|可算コンパクト性]]は同値である。しかしながら、点列コンパクトな第一可算的空間で[[コンパクト空間|コンパクト]]でない例はある (それは距離空間でない必要がある)。そのような空間の例として[[順序数空間]] ω<sub>1</sub> = &#x5b;0, ω<sub>1</sub>) がある。第一可算的空間は[[コンパクト生成空間]]である。
第一可算的空間では点列コンパクト性と可算コンパクト性は同値である。
しかしながら、点列コンパクトな第一可算的空間で[[コンパクト空間]]でない例はある。(それは距離空間でない必要がある。)
そのような順序数空間の例としてω<sub>1</sub> = <nowiki>[</nowiki>0,ω<sub>1</sub>)がある。
第一可算的空間はコンパクト生成空間である。
 
第一可算的空間の[[部分位相空間|部分空間]]は第一可算的である。第一可算的空間の可算個の[[直積位相空間|直積]]は第一可算的であるが、不可算個の積については必ずしもそうならない。
第一可算的空間の可算個の積は第一可算的である。
不可算個の積についてはそうならないこともある。。
 
== 関連項目 ==
*[[第二可算的空間]]
*[[可分空間]]
 
== 参照考文献 ==
*{{Springer|id=f/f040430|title=first axiom of countability}}
 
{{DEFAULTSORT:First-Countable Spaceたいいちかさんくうかん}}
[[Category:位相幾何学]]
[[Category:位相空間論]]
[[Category:数学に関する記事]]
 
[[en:First-countable space]]▼
[[es:Primer axioma de numerabilidad]]
[[ko:제1가산공간]]
48 ⟶ 42行目:
[[uk:Перша аксіома зліченності]]
[[zh:第一可數空間]]
▲[[en:First-countable space]]
「https://ja.wikipedia.org/wiki/第一可算的空間」から取得