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関の最大の業績は、天元術を革新して傍書法・点竄術を確立したことである。これは[[数学記号の表|記号]]法の改良と[[理論]]の前進の双方を含み、後に和算で高度な数学が展開するための基礎を提供した。
天元術は中国で発達した代数的解法である。求める数を[[変数 (数学)|未知数]]''x''（天元の一と呼ぶ）とし、演算を施して1元[[代数方程式|方程式]]を立て、それを解いてる。問題の答えを得た。1元方程式はに帰着できれば、次数に拘わらず[[算木]]による[[ホーナー法]]によってで近似的に解けたため、1元方程式に帰着できる問題はもちろん、[[幾何学|幾何]]の問題も機械的に代数の問題に帰着して扱った。しかし[[明|明代]]に入ると中国では天元術は衰え、もっぱら[[李氏朝鮮]]で継承されてゆく。朝鮮での発展や日本への流入の過程は今日でも不明な点が多い。日本では17世紀に入ってから、主に京阪の和算家の橋本正数・[[沢口一之]]らによって熱心に研究された。沢口の『古今算法記』（寛文10年、1670年）は、天元術の学習がほぼ完了したことを示している。
天元術には多変数の高次方程式を扱えない欠点があった。これは未知数を記号ではなく[[算木]]を置く場所で表現しているからで、例えば (1 3 4) の配置は1変数の多項式 <math>1+3x+4x^2</math> または多変数の1次式 <math>x+3y+4z</math> のいずれかを表す<ref>[[朱世傑]]著『四元玉鑑』では2次元の配列を用いて、最大4変数まで扱えるようにしているが、これ以上の一般化は不可能だった。</ref>。したがって2個目以降の未知数を文章による議論で消去してから、天元術を用いねばならなかった。
『古今算法記』巻末の15問の未解決問題（遺題）はまさに多変数の方程式を必要とした。関は『'''発微算法'''』（延宝2年、1674年）でそれらすべての解を与えている。それは傍書法、すなわち算木による[[数]]ではなく紙の上の[[文字]]によって算式を論じる代数筆算を用い、2個目以降の未知数を文字で表して多変数の方程式の表現し、それを点竄術で処理して求めた。
ただし『発微算法』には変数を消去した後の1元方程式が書かれているだけで（それすらも詳細を端折った解答もあった）、その背景にある傍書法は一切表に現れていない。加えて初期の版では若干の誤りがあったため、正当性に疑いを持つ者も現れた。
例えば佐治一平は15の回答のうち12が誤りだと主張した（実際には佐治の指摘のほとんどは的外れだった）。 さらにまた佐治の師にあたる田中由真は『算法明解』（延宝7年、[[1679年]]）で、別の解答を関とは独立に発明した点竄術・傍書法を用いて与えた 。これに対して建部賢弘が『'''発微算法演段諺解'''』（貞享2年、[[1685年]]）で点竄術とそれを用いた解法の詳細を公開し、併せて若干の誤りを（場合によっては注記せずに）訂正している。 ▼
これに対して建部賢弘が『'''発微算法演段諺解'''』（貞享2年、[[1685年]]）で点竄術とそれを用いた解法の詳細を公開し、併せて若干の誤りを（場合によっては注記せずに）訂正している。さらに 進んで『'''解伏題之法'''』（[[天和 (日本)|天和]]3年、[[1683年]]）では 、終結式を用いた消去の一般的な理論を示し、 さらに加えて終結式を表現するために[[行列式]]に相当するものを導入した。ただし関は3次・4次の行列式は正しい表示を与えているが、5次については符号の誤りがあり、常に0になってしまう。これが単純な誤記の類であるか否かは不明である。やや後の1710年以前に完成した『'''大成算経'''』（建部賢明・建部賢弘と の共著）で、第1列についての[[行列式#余因子展開|余因子展開]]を一般の行列について 、正しく与えている。 ▼
▲例えば佐治一平は15の回答のうち12が誤りだと主張した（実際には佐治の指摘のほとんどは的外れだった）。さらに佐治の師にあたる田中由真は『算法明解』（延宝7年、[[1679年]]）で、別の解答を関とは独立に発明した点竄術・傍書法を用いて与えた。これに対して建部賢弘が『'''発微算法演段諺解'''』（貞享2年、[[1685年]]）で点竄術とそれを用いた解法の詳細を公開し、併せて若干の誤りを（場合によっては注記せずに）訂正している。
類似の結果は 、田中 由真の『算法紛解』（1690年?）や、 [[大阪 ]]の井関知辰 の著書による『算法発揮』 （1690（[[元禄]]3年、1690年 刊）にも見られる。『解伏題之法』も『大成算経』も公刊されていないので、これらの研究は独自になされたと思われる。関と京阪の和算家との交流には不明な点が多 く、今後の解明が待たれるい。また 、『大成算経』の存在にもかかわらず、後の関流の有力な和算家たちが『解伏題之法』を訂正して正しい展開式を得る研究を続けてい る。て、この理由も今のところ不明である。 ▼▲さらに進んで『'''解伏題之法'''』（[[天和 (日本)|天和]]3年、[[1683年]]）では、終結式を用いた消去の一般的な理論を示し、さらに終結式を表現するために[[行列式]]に相当するものを導入した。ただし関は3次・4次の行列式は正しい表示を与えているが、5次については符号の誤りがあり、常に0になってしまう。これが単純な誤記の類であるか否かは不明である。やや後の1710年以前に完成した『'''大成算経'''』（建部賢明・建部賢弘と共著）で、第1列についての[[行列式#余因子展開|余因子展開]]を一般の行列について、正しく与えている。
行列式がなお[[ゴットフリート・ ライプニッツ|ライプニッツ]] によってが行列式を導入されたのは関と同じ1683年ころ であるだが、『解伏題之法』に比較して も一般性に おいて劣る。 そして一般の行列式の公式や終結式の理論が発見されるのは18世紀の中ごろ であるだった。先立って 、楊輝（中国、[[1238年]]? - [[1298年]]）は『詳解九章算術』で、[[ジェロラモ・カルダー ノ|カルダノ]]は 『偉大なる術』（Ars Arsmagna Magna（1580）の中de Rebus Algebraicis, [[1580年]]）で 、数字係数の二元 連立一次 [[線型方程式 系|連立方程式]]の解を行列式と同様の計算式で与えている。 ▼▲類似の結果は、田中由真の『算法紛解』（1690年?）や、大阪の井関知辰の著書『算法発揮』（1690年刊）にも見られる。『解伏題之法』も『大成算経』も公刊されていないので、これらの研究は独自になされたと思われる。関と京阪の和算家との交流には不明な点が多く、今後の解明が待たれる。また、『大成算経』の存在にもかかわらず、後の関流の有力な和算家たちが『解伏題之法』を訂正して正しい展開式を得る研究を続けている。この理由も今のところ不明である。
この一連の研究により、数学の問題は多元の代数方程式に表現できれば、原理的には解けることになった。つまり、消去の一般論を用いて一元の方程式に帰着し、その解を得ればよいのである（主に算木によるホーナー法で解いた）。また、中国数学以来の伝統で、図形[[幾何学|幾何]]の問題は[[ピタゴラスの定理]]などを用いて機械的に代数に落として処理することになっしていたので、これで実に広範な問題が原理的には解けることようになった。
ただし、上記このプロセス解法を実際に実行するのは多くの場合、計算量がかかりすぎて膨大で現実的ではない。実際、そのため『発微算法』でも方程式のみを求めていて、数値解の計算には進まなかった理由はここにある。ある問題については最終的に得られる方程式の次数が1458次にもなってしまい、方程式を具体的に書き下すことすらできなかった（<ref>この問題は最近になって、これより簡単な方程式が得られないことず、そしてただ一つの実数解を持つことが確かめられた）。</ref>。しかし、以後、連立高次方程式に帰着されてしまうる問題は、和算の中心的課題ではなくなった。
また 、一元方程式に帰着した後、和算では[[数値解 法析]]で 実数 値解を求める のであるが、そのためには 、実数 解[[零点|根]]の定性的 な性質（存在範囲 、・[[重 解、根 (多項式)|重根]]・個数） がを解明 されし、効率的な [[アルゴリズム が]]を確立 されしなけらばならない。関は 、ホーナー法の収束を改善するため、ある精度から先は高次の項を省略する 方法を提案した。これは、[[ニュートン法]]と [[同値 である]]の方法を提案した。また 、重 解根の存在条件を示した。これは 、元の方程式とその導多項式が共通解を持つための条件にほかならず、先の消去の理論の応用である。 ▼▲行列式が[[ゴットフリート・ライプニッツ|ライプニッツ]]によって導入されたのは関と同じ1683年ころであるが、『解伏題之法』に比較しても一般性において劣る。そして一般の行列式の公式や終結式の理論が発見されるのは18世紀の中ごろである。先立って、楊輝（中国、[[1238年]]? - [[1298年]]）は『詳解九章算術』で、[[ジェロラモ・カルダーノ|カルダノ]]は Ars Magna（1580）の中で数字係数の二元連立一次方程式の解を行列式と同様の計算式で与えている。
▲また、一元方程式に帰着した後、和算では数値解法で実数解を求めるのであるが、そのためには実数解の定性的性質（存在範囲、重解、個数）が解明され、効率的なアルゴリズムが確立されなけらばならない。関は、ホーナー法の収束を改善するため、ある精度から先は高次の項を省略する方法を提案した。これは、[[ニュートン法]]と同値である。また、重解の存在条件を示した。これは、元の方程式とその導多項式が共通解を持つための条件にほかならず、先の消去の理論の応用である。
==脚注==
<references/>
== 参考文献 ==
;1===一次資料===
* [[平山諦]]・[[下平和夫]]・[[広瀬秀雄]]（編）『関孝和全集』[[大阪教育図書]]、1997年7月、ISBN 4-271-30011-X
* 関孝和『關孝和の『「発微算法』－－」―原本影印』[[和算研究所]]
;2===二次資料===
* [[王青翔]]『「算木」を超えた男 もう一つの近代数学の誕生と関孝和』[[東洋書店]]、1999年2月、ISBN 4-88595-226-3
* [[藤原正彦]]『天才の栄光と挫折 数学者列伝』 [[新潮選書]]、2002年、[[文春文庫]]、2008年
* 佐藤賢一<!-- 作家の佐藤賢一は同姓同名の別人 -->『コレクション数学史 5 近世日本数学史 関孝和の実像を求めて』[[東京大学出版会]]、2005年3月、ISBN 4-13-061355-3
* [[下平和夫]]『関孝和 江戸の世界的数学者の足跡と偉業』[[研成社]]、2006年2月、ISBN 4-87639-142-4
* [[平山諦]]『関孝和 その業績と伝記』[[恒星社厚生閣]]、1981年、ISBN 4-7699-0217-4
* [[平山諦]]『和算の歴史 その本質と発展』[[筑摩書房]]〈ちくま学芸文庫〉]]、2007年7月、ISBN 978-4-480-09084-3
* 村田全『日本の数学 西洋の数学』[[筑摩書房]]〈ちくま学芸文庫〉、2008年、ISBN 978-4-480-09161-1
== 関連項目 ==
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