「天元術」の版間の差分

'''天元術'''（てんげんじゅつ）は、[[中国]]で生まれた[[代数学|代数]]問題の解法である。

天元術は[[宋 (王朝)|宋]]末の[[13世紀]]に発展した。重要なテキスト[[教科書]]は、[[朱世傑]]の『算学啓蒙』（[[1299年]]）である。日本では[[1658年]]（[[万治]]元年）に出版され、これを通して天元術は[[和算]]の発展の元となった。

天元術は代数学の問題の解法であり、[[算木]]と・[[算盤]]とを使う。

問題の答えとして求める数を仮に<math> 0+''x</math>'' の形で設け、これを「天元の一」（てんげんのいち）とい言う。天元術では「天元の一を立て、何々とす」という言い回しから始まり、これがすなわち[[西洋]][[数学]]でいう「何々を ''x'' と置く」にあたる。それから論を進めて算盤上に1元[[代数方程式]]を求め、その[[根]]を導いて答えを得る。

天元の一を立てて、論を進めることで算盤上に一元方程式を求め、その根を導くことで答えを得るのが天元術である。天元術は一1元代数方程式のみを扱うが、多元代数[[線型方程式系|連立方程式]]を扱う二元術、・三元術、・四元術も生まれた。ただしこれらはほとんど広まらず、四元術の書である朱世傑の『四元玉鑑』は19世紀に再発見された。この中でには二元術・三元術の書についても言及されしているが、これらは現存しない。

[[沢口一之]]は、日本で初めて天元術を正しく理解して扱ったその著書「『古今算法記」』を著し、その中に天元術では解けない問題を遺した。その問題を解くために[[関孝和]]は天元術を発展させた。[[筆算]]表記法の傍書法で多[[変数 (数学)|変数]]の方程式を表し、さらにそれを解く[[点竄術]]を編み出して、和算を大いに進展させた。

まず、#天元の一を立てて仮に求める値（未知数）とする。次に、
#題の条件によって[[算術#四則演算|加減乗除]]を施して既知数と等しい式をつく作り、それと既知数とを相消することで開方式（方程式）を得る。そして、
#それを[[冪根|開方（方程式の根を得る計算）]]して答えを得る。

相消とは、等しい数を減じて0の値を得る事ことで、つまり西洋で、数学の[[等号]]で結ぶこと、また、[[等式]]の右辺を0にすることにあたる。

た例とえば、今して「いま[[長方形]]がある。その長方形の[[面積]]は15で、長辺と短辺の[[加法|和]]が8であるとき、長辺と短辺の長さはそれぞれいくらか。」という問題を天元術で解けば、こう。

求める数を長辺として、まず、「天元の一を立てて長辺とす、」と言って、算盤の実級（定数項）を空（0） (0) とし、法級（x（''x''の一1次項）に係数1の算木をし敷く。すなわち、<math> 0+''x</math>'' の式である。

次に、「長短辺の和8より長辺（つまり求める未知数x） ''x''）を減じ、短辺とする、」と言って、実級に8の算木をしいて、法級に-1の算木をし敷く。すなわち<math>これが 8-''x''=</math>短辺　の式であ を意味する。

この式（つまり短辺）を長辺（つまり求める数x）すなわち ''x''）と、[[乗法|あい乗じて]]積とする。''x'' がか掛かって次数が一つあ1上がるので、法級に8をしき、廉級（''x''<mathsup>x^2</mathsup> の項）に-1をし敷く。すなわち<math>つまり 0+8x8''x''-''x^''<sup>2=</mathsup>=積　の式 である。「これを左に寄す」と言ってこの式を、ひとまずこの式をおいておく。

この式が、積に等しいので、「積15を列しこれを左に寄すと相消す、」と言い、左に寄せた式より積15を引き、長辺（x） ''x'' を得る開方式（方程式）を得る。すなわち<math>方程式 -15+8x8''x''-''x^''<sup>2=0</mathsup>の方程式=0 である。

これを開方（方程式の根を求める方に[[ホーナー法。|増乗開方法]]を適用して、いわゆるホーナー法が用いられた）することで商（根）に長辺の値の5を得る。また、長辺短辺の和8よりこれを引いて、短辺3を得る。