「単サイト近似」の版間の差分
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更に字句等修正 |
加筆（状態密度） |
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11行目:
<math> \begin{matrix} T & \to & \left\langle T \right\rangle = \left\langle \sum_n t_n + \sum_n t_n \tilde{G} \sum_{m \ne n} t_m + \sum_n t_n \tilde{G} \sum_{m \ne n} t_m \tilde{G} \sum_{p \ne m} t_p + \cdot \cdot \cdot \right\rangle \\ \ & = & \sum_n \left\langle t_n \right\rangle + \sum_n \left\langle t_n \tilde{G} \sum_{m \ne n} t_m \right\rangle + \sum_n \left\langle t_n \tilde{G} \sum_{m \ne n} t_m \tilde{G} \sum_{p \ne m} t_p \right\rangle + \cdot \cdot \cdot \end{matrix} </math>
とする。
１次の平均は、
19行目:
２次の平均は、
<math> \left\langle t_n t_m \right\rangle \to \left\{ \begin{matrix} x^2 {t_A}^2, & n \ne m, \quad n = \mbox{A}, \quad m = \mbox{A} \\ x {t_A}^2, & n = m, \quad n = m = \mbox{A} \end{matrix}\right. </matH>
となる。２次の場合、nまたはmがＢの場合は省略（本当は２次の項の場合、n = mとなることはないが、ここでは便宜上n = mの場合を示した）。<BR>
30行目:
<math> \tilde{G} = \left\langle \tilde{G} \right\rangle </math>
以上から、単サイト近似に
<math> \left\langle T \right\rangle = \sum_n \left\langle t_n \right\rangle + \sum_n \left\langle t_n \right\rangle \tilde{G} \sum_{m \ne n} \left\langle t_m \right\rangle + \sum_n \left\langle t_n \right\rangle \tilde{G} \sum_{m \ne n} \left\langle t_m \right\rangle \tilde{G} \sum_{p \ne m, n} \left\langle t_p \right\rangle + \cdot \cdot \cdot </math>
となる。平均操作を施した[[状態密度]]D(E)は、
<math> \begin{matrix} D(E) - D_0(E) & = & {2 \over {N \pi} } Im Tr {d \over {dE} } \{ x \ln T_A + y \ln T_B \} \\ \ & = & - {2 \over {N \pi} } Im Tr \{ x T_A {d \over {dE} } (\tau_A^{-1} - B) + y T_B {d \over {dE} } (\tau_B^{-1} -B) \} \\ \ & = & - {2 \over {N \pi} } Im Tr \sum_{n} [x \left\langle T_{nn} \right\rangle_{n = A} {d \tau_A^{-1} \over {dE} } + y \left\langle T_{nn} \right\rangle_{n = B} {d \tau_B^{-1} \over {dE} } - \sum_{n_1} \left\langle T_{nn_1} \right\rangle {d \over {dE} } B_{{n_1}n} ] \end{matrix} </math>
となる。更に平均操作は添え字nに対して独立なので、n=0（を原点として）で代表させる（N倍する必要あり。N：全サイト数）。また< T<SUB>nn</SUB> >は[[フーリエ変換]]により、
<math> \left\langle T_{nn} \right\rangle \to T_{\mathbf{q}}^{eff} = [ \tau_{eff}^{-1} - B_{\mathbf{q}} ]^{-1} </math>
として、
<math> D(E) - D_0(E) = - {2 \over {\pi} } Im Tr [x \left\langle T_{00} \right\rangle_{0 = A} {d \tau_A^{-1} \over {dE} } + y \left\langle T_{00} \right\rangle_{0 = B} {d \tau_B^{-1} \over {dE} } - {1 \over N} \sum_{\mathbf{q}} T_{\mathbf{q}}^{eff} {d B_{\mathbf{q}} \over {dE} } ] </math>
となる。これが不規則二元合金の状態密度を与える基本式となる。尚、B<SUB><B>q</B></SUB>は構造定数（B<SUB>n<SUB>1</SUB>n</SUB>）をフーリエ変換したものである。
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