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'''完全系'''（かんぜんけい、{{Lang-en-short|complete system}}<ref>{{Cite book|和書
ある関数やベクトルの集合が、任意の関数やベクトルなどを線形結合で展開できる時、その集合を'''完全系'''と呼ぶ。▼
|author = [[文部省]]
|coauthors = [[日本物理学会]]編
|title = [[学術用語集]] 物理学編
|url = http://sciterm.nii.ac.jp/cgi-bin/reference.cgi
|year = 1990
|publisher = [[培風館]]
|isbn = 4-563-02195-4
|page =
== ベクトルの完全系 ==
[[ヒルベルト空間]] <math>\mathcal{H}</math> 上のどんなベクトル <math>|\psi\rangle</math> も、同じ <math>\mathcal{H}</math> 上のベクトル達 <math>\{|1\rangle,|2\rangle, \cdots \}</math> の
よって、任意のベクトル <math>|\psi\rangle</math> を、以下のように表せる。
: <math>| \psi \rangle = c_1 | 1 \rangle + c_2 | 2 \rangle + \cdots =\sum_n c_n |n\rangle </math>
=== 完全性関係 ===▼
▲===完全性関係===
以下の関係を'''完全性関係'''と呼ぶ。
: <math>\sum_n | n \rangle \langle n | = \hat{1} </math>
<math>\{ |n\rangle \}</math> がこの完全性関係を満たす場合、<math>\{ |n\rangle \}</math> は完全形を成す。
逆に、<math>\{ |n\rangle \}</math> が完全系ならば、<math>\{ |n\rangle \}</math> について完全性関係が成り立つ。
== 関数の完全系 ==
任意の関数が、ある直交関数系で展開できるとき、この直交関数系を
=== 例 ===
<math>\{ 1, \cos x, \cos 2x,\cdots, \sin x, \sin 2x, \cdots \} \ </math> は完全系である。
よって、<math>-\pi \le x \le \pi</math> の範囲における任意の関数をこの線形結合で表せる。
また、[[球面調和関数]]や[[ルジャンドル多項式]]も、以下の直行関係を満たす完全系である。
: <math>\int_{\theta=0}^\pi\int_{\varphi=0}^{2\pi}Y_\ell^m(\theta,\varphi) \, Y_{\ell'}^{m'*}(\theta,\varphi)\,\sin\theta d\theta d\varphi=\delta_{\ell\ell'}\, \delta_{mm'}</math>▼
: <math>\int_{-1}^{1} P_m(x) P_n(x)\,dx = {2 \over {2n + 1}} \delta_{mn}</math>▼
== 脚注 ==
▲:<math>\int_{\theta=0}^\pi\int_{\varphi=0}^{2\pi}Y_\ell^m(\theta,\varphi) \, Y_{\ell'}^{m'*}(\theta,\varphi)\,\sin\theta d\theta d\varphi=\delta_{\ell\ell'}\, \delta_{mm'}</math>
{{脚注ヘルプ}}
▲:<math>\int_{-1}^{1} P_m(x) P_n(x)\,dx = {2 \over {2n + 1}} \delta_{mn}</math>
{{Reflist}}
== 参考文献 == <!-- {{Cite book}}、{{Cite journal}} -->
* {{Cite book|和書
|author=J.J. Sakurai
|authorlink=J.J.サクライ
|others=[[桜井明夫]]訳
|year=1989
|month=2
|title=現代の量子力学
|volume=上
|series=物理学叢書56
|publisher=[[吉岡書店]]
|isbn=978-4-8427-0222-3
}}
== 関連項目 ==
<!-- {{Commonscat|Complete system}} -->
* [[系]]
* [[数学に関する記事の一覧]]
<!-- == 外部リンク == {{Cite web}} -->
{{DEFAULTSORT:かんせんけい}}
[[Category:量子力学]]
[[Category:数学に関する記事]]
<!-- [[en:Complete system]] -->
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