「中点連結定理」の版間の差分

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'''中点連結定理'''(ちゅうてんれんけつていり)とは、[[平面幾何]]の[[定理]]の1つである。
 
[[三角形]]ABCにおいて、底辺BC以外の 2 辺AB,ACの中点をそれぞれM,Nとおくとき、線分MNを三角形の'''中点連結'''とよぶ。このとき、中点連結MNと底辺BCの間に 2MN=BC かつ MN//BC が成り立つ
==証明==
 
 
別解:[[線分]]MNを延長上にMN=NDとなる点Dをとる。[[四角形]]AMCDは、MN=ND、AN=NCであることより、[[対角線]]が各々の[[中点]]で交わるので、[[平行四辺形]]である。よってAM=CDであり、かつAB//CD。このAB//CDとAM=MBよりMB//CD、MB=CD。1辺が等しく平行なので、四角形MBCDは平行四辺形。その性質からMD//BC、よってMN//BC。またMD=BCだから2MN=BC。
 
==逆==
 
三角形ABCにおいて、辺ABの中点Mから引いた底辺BCの平行線と、残りの辺ACとの交点Nは、辺ACを二等分する。
 
証明:線分MNの延長上に、MD=BCとなる点Dをとる。[[四角形]]MBCDは、一組の対辺MN,BCが平行かつ等長であることから、[[平行四辺形]]である。よってAB//CDであり、また CD=MBと AM=MBとから AM=CD。一組の対辺 AM,CD が平行かつ等長であることから、四角形AMCDは平行四辺形。平行四辺形AMCDの対角線は中点で交わることから、AN=NC。
 
なお「三角形ABCにおいて、辺ABの中点Mと 辺AC上の点Nを結ぶ線分MNの長さが底辺BCの半分であれば、点Nは、辺ACを二等分する」も、中点連結定理の「逆」の内容を持っているが、内容自体が誤りなので、定理として「中点連結定理の逆」と呼ばれることはない。
 
 
 
[[Category:幾何学|ちゆうてんれんけつていり]]
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