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<math>{T}_{j}</math>は、Tの第j列ベクトルを意味し、<math>{G}_{j}</math>は、Gの第j列ベクトルを意味する。
</td><tr></table>
===多重周期性の定義===
多重周期性に関して必要最小限のことを補足説明する。（[[周期関数]]も参照のこと。）
<math>f\ </math>がn次元実[[数ベクトル空間]] (<math>\mathbb{R}^{n}</math>)<ref name=rn>
<math>\mathbb{R}^n = \left\{ \left. \left( \begin{matrix}
x_1 \\
\vdots \\
x_n \\
\end{matrix} \right)\ \left| \begin{matrix}
x_1 ,\cdots , x_n \in \mathbb{R} \\
\end{matrix} \right. \right\} \right.</math>
つまり、<math>\mathbb{R}^n</math>とは、n個の実数<math>x_1 \ ,\ \cdots \ ,\ x_n</math>を用いて
<math>\left( \begin{matrix}
x_1 \\
\vdots \\
x_n \\
\end{matrix} \right)</math>
の形で表せるもの全てを集めてきたものである。</ref>で定義された実、又は複素数値関数とする。
n次元数ベクトル
<math>\mathbf{T} = \left( \begin{matrix}
t_1 \\
\vdots \\
t_n \\
\end{matrix} \right)</math>
が、<math>f</math>の周期(l重周期；多重周期)であるとは、<math>f</math>の定義域上の任意の点
<math>\mathbf{x} = \left( \begin{matrix}
x_1 \\
\vdots \\
x_n \\
\end{matrix} \right)</math>
に対して、
<math>f( \mathbf{x} + \mathbf{T} )=f( \mathbf{x} )</math>
が成立することを意味する。
'''(0)ゼロ周期の存在'''
ゼロベクトル
<math>\mathbf{0} = \left( \begin{matrix}
0 \\
\vdots \\
0 \\
\end{matrix} \right)</math>
は、任意の関数の周期となっているため、「自明な周期」といわれる。書物によっては、自明な周期(つまり、ゼロベクトル)を<math>f\ </math> の周期に含まない定義を採用している場合もあるが、便利が悪いので、本稿ではこれも周期と考える。
'''(1)周期の和'''
<math>n</math>次元数ベクトル
<math>\mathbf{T} = \left( \begin{matrix}
t_1 \\
\vdots \\
t_n \\
\end{matrix} \right)</math> ，<math>\mathbf{S} = \left( \begin{matrix}
s_1 \\
\vdots \\
s_n \\
\end{matrix} \right)</math>
の和
<math>\mathbf{T} + \mathbf{S} = \left( \begin{matrix}
t_1 \\
\vdots \\
t_n \\
\end{matrix} \right) + \left( \begin{matrix}
s_1 \\
\vdots \\
s_n \\
\end{matrix} \right)</math>
も<math>f\ </math>の周期となる。
'''(2)周期の整数倍'''
<math>z</math>を整数、
<math>\mathbf{T} = \left( \begin{matrix}
t_1 \\
\vdots \\
t_n \\
\end{matrix} \right)</math>
としたとき、
<math>z \mathbf{T} = \left( \begin{matrix}
z \cdot t_1 \\
\vdots \\
z \cdot t_n \\
\end{matrix} \right)</math>
(0)～(2)の事実をまとめて、「周期は<math>\mathbb{Z}</math>[[加群]]である」という。
また、
<math>\textbf{T}_1 , \textbf{T}_2</math>が<math>f\ </math>
の周期、<math>z_1 ,\ z_2</math>が整数であるとき、
<math>z_1 \textbf{T}_1 + z_2 \textbf{T}_2</math>
もまた、<math>f\ </math>の周期である。さらに、帰納して、
<math>\textbf{T}_1 ,\cdots, \textbf{T}_l</math>が<math>f\ </math>の周期、<math>z_1 ,\cdots ,\ z_l</math>が整数であるとき、
<math>z_1 \textbf{T}_1 + \cdots + z_l \textbf{T}_l</math>
もまた、<math>f\ </math>の周期である。
<math>z_1 \textbf{T}_1 + \cdots + z_l \textbf{T}_l</math>
のような形式を、<math>\mathbb{Z}</math>結合という。つまり、周期の<math>\mathbb{Z}</math>結合も周期である。但し、周期の[[線形結合]](<math>\mathbb{R}</math>結合)は必ずしも周期とはならない。つまり、<math>\lambda_1 ,\cdots , \lambda_l</math>
を'''実数'''、<math>\textbf{T}_1 ,\cdots , \textbf{T}_l</math>が
関数<math>f\ </math>の周期としても、
<math>\lambda_1 \textbf{T}_1 + \cdots + \lambda_l \textbf{T}_l</math>
は必ずしも、<math>f\ </math>の周期とは限らない。
<math>l</math>個の<math>n</math>次元ベクトル、
<math>\textbf{T}_1 , \cdots , \textbf{T}_l</math>が、
<math>f\ </math>の基本周期であるとは、以下を充たすこととする。
#<math>\textbf{T}_1 , \cdots , \textbf{T}_l</math>は、<math>\textbf{0}</math>ではない。
#<math>\textbf{T}_1 , \cdots , \textbf{T}_l</math>は、<math>\mathbb{Z}</math>独立である。
#<math>\textbf{T}</math>が<math>f\ </math>の周期である限り、必ず適当な整数<math>z_1 , \cdots , z_l</math>を用いて、以下のように表すことができる。
<div align=center>
<math>\textbf{T} = z_1 \textbf{T}_1 + \cdots + z_l \textbf{T}_l</math></div>
===正弦平面波の多重周期性===
<math>f</math>を、n次元実正弦平面波、あるいは、n次元複素正弦平面波とし、<math>f</math>の波数ベクトルを、<math>\mathbf{K}</math>とする。
<math>\mathbf{T}</math>が<math>f</math>の周期であるとき、
<math>\mathbf{K} \bullet \mathbf{T} = \left( \begin{matrix}
k_1 \\
\vdots \\
k_n \\
\end{matrix} \right) \bullet \left( \begin{matrix}
t_1 \\
\vdots \\
t_n \\
\end{matrix} \right) = k_1 t_1 + \cdots + k_n t_n \equiv 2 \pi</math>
が成立する。つまり、適当な整数<math>m</math>を用いて、
<math>\mathbf{K} \bullet \mathbf{T} =2m \pi</math>
と表すことができる。実際、
<math>\exp i \mathbf{K} \bullet ( \mathbf{x} + \mathbf{T} )= \exp i \mathbf{K} \bullet \mathbf{T} \cdot \exp i \mathbf{K} \bullet \mathbf{x}</math>
であり、<math>\textbf{T}</math>が<math>f</math>の周期とすると、
<math>\exp i\mathbf{K} \bullet \mathbf{T} = \exp i \cdot 2m\pi =1</math>
なので、
<math>\exp i \mathbf{K} \bullet (\mathbf{x}+\mathbf{T} )= \exp i \mathbf{K} \bullet \mathbf{x}</math>
となる。実平面正弦波の場合にも、具体的な計算から確かめることができる。
特に、<math>\textbf{T}_1</math>,<math>\textbf{T}_2</math>が、
<math>\mathbf{K} \bullet \mathbf{T}_1 =0</math>
<math>\mathbf{K}\bullet \mathbf{T}_2 =0</math>
を満たすとき、任意の実数<math>\lambda_1</math> ,<math>\lambda_2</math>に対して、
<math>\lambda_1 \mathbf{T}_1 + \lambda_2 \mathbf{T}_2</math>
も又、<math>f</math>の周期となる（もちろん、<math>\textbf{T}_1</math>,<math>\textbf{T}_2</math>自身も<math>f</math>の周期である）。さらに、帰納して、
<math>\mathbf{K}\bullet \mathbf{T}_i =0 \ (i=1,2, \cdots ,l)</math>
を満たす<math>\mathbf{T}_1 ,\cdots\, \mathbf{T}_l</math>と、任意の実数<math>\lambda_1 ,\cdots, \lambda_1</math>に対して、
<math>\lambda_1 \textbf{T}_1 + \cdots + \lambda_l \textbf{T}_l</math>
もまた、<math>f</math> の周期となる。
==第一原理バンド計算における平面波==
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