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== 概要 ==
一般に一変数の三次方程式は
{{Indent|: <math> a_3 x^3 + a_2x^2+a_1x + a_0 = 0\quad (a_3\ne 0)</math>}}
の形で表現される。現代においては、三次方程式の解法といえば、主に[[代数方程式|代数的解法]]の事を意味する。
まだ[[正の数と負の数|負]]の数が数学者達にあまり受け入れられていなかった時代であり、全ての係数が正の数であるとして扱われたために、例えば、
{{Indent|: ''x''<sup>3</sup> <nowiki>=</nowiki> ''a''<sub>1</sub> ''x'' + ''a''<sub>0</sub><br />
: ''x''<sup>3</sup> + ''a''<sub>1</sub> ''x'' <nowiki>=</nowiki> ''a''<sub>0</sub>}}
の 2 つの三次方程式は、いずれも 2 次の項が無い三次方程式であるが、別の形の方程式とされた。
== 根の様子 ==
三次方程式は、[[高々 (数学)|高々]] 3 個の根を持つ。[[中間値の定理]]によれば、実数を係数とする三次方程式は、少なくとも 1 つ以上の実数を解に持つことが分かる。
{{Indent|: ''a''<sub>3</sub> ''x''<sup>3</sup> + ''a''<sub>2</sub> ''x''<sup>2</sup> + ''a''<sub>1</sub> ''x'' + ''a''<sub>0</sub> <nowiki>=</nowiki> 0 (''a''<sub>3</sub> ≠ 0)}}
が[[重根 (多項式)|重根]]を持つ場合、その重根は、この式を形式的に ''x'' で[[微分]]して得られる、[[二次方程式]]
{{Indent|: 3 ''a''<sub>3</sub> ''x''<sup>2</sup> + 2 ''a''<sub>2</sub> ''x'' + ''a''<sub>1</sub> <nowiki>=</nowiki> 0}}
の根でもあるため、比較的容易に三次方程式を解くことができる。[[複素数|虚数]]の根を持つ場合は、 その[[複素数#複素共役|共役複素数]]も根となるため、重根を持たない。したがって、重根が現れる場合は、全ての根が実数である。
{{Indent|: ''a''<sub>3</sub> ''x''<sup>3</sup> + ''a''<sub>2</sub> ''x''<sup>2</sup> + ''a''<sub>1</sub> ''x'' + ''a''<sub>0</sub> (''a''<sub>3</sub> ≠ 0)}}
の根を α<sub>1</sub>, α<sub>2</sub>, α<sub>3</sub> とすると[[重根 (多項式)#判別式|判別式]] ''D'' の ''a''<sub>3</sub><sup>4</sup> 倍は
{{Indent|: Δ <nowiki>=</nowiki> ''a''<sub>3</sub><sup>4</sup> ''D'' <nowiki>=</nowiki> − 4 ''a''<sub>1</sub><sup>3</sup> ''a''<sub>3</sub> + ''a''<sub>1</sub><sup>2</sup> ''a''<sub>2</sub><sup>2</sup> − 4 ''a''<sub>0</sub> ''a''<sub>2</sub><sup>3</sup> + 18 ''a''<sub>0</sub> ''a''<sub>1</sub> ''a''<sub>2</sub> ''a''<sub>3</sub> − 27 ''a''<sub>0</sub><sup>2</sup> ''a''<sub>3</sub><sup>2</sup>}}
となる。
判別式を計算すれば、具体的に根を求めなくても
* Δ > 0 の時、 3 つの異なる実数解を持つ。
* Δ < 0 の時、 1 つの実数解と 2 つの互いに共役な[[複素数]]解を持つ。
* Δ = 0 の時は、実数の重根を持つ。
ということが分かる。Δ = 0 の時さらに
{{Indent|: Δ<sub>2</sub> <nowiki>=</nowiki> − 2 ''a''<sub>2</sub><sup>3</sup> + 9 ''a''<sub>1</sub> ''a''<sub>2</sub> ''a''<sub>3</sub> − 27 ''a''<sub>0</sub> ''a''<sub>3</sub><sup>2</sup>}}
と定義すれば Δ<sub>2</sub> = 0 の時、三重根を持つ。そうでなければ二重根と（それとは異なる）実数解を 1 つ持つ。
=== カルダノの公式 ===
一般的な三次方程式の代数的解法は、'''カルダノの方法'''あるいは'''カルダノの公式'''として知られる。
: ''a''<sub>3</sub> ''x''<sup>3</sup> + ''a''<sub>2</sub> ''x''<sup>2</sup> + ''a''<sub>1</sub> ''x'' + ''a''<sub>0</sub> = 0 (''a''<sub>3</sub> ≠ 0)
{{Indent|<math>a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 = 0 \quad (a_3 \qquad </math>≠<math> \qquad 0)</math>}}
を ''a''<mathsub>a_3 \qquad 3</mathsub> で割り
: ''x''<sup>3</sup> + ''A''<sub>2</sub> ''x''<sup>2</sup> + ''A''<sub>1</sub> ''x'' + ''A''<sub>0</sub> = 0
{{Indent|<math>x^3 + A_2 x^2 + A_1 x + A_0 = 0 \qquad </math>}}
の形にする。ただし、( ''A''<mathsub>''n''</sub>A_n = \frac{a_n}{a_3}''a''<sub>''n''</sub> / ''a''<sub>3</mathsub>)
{{Indent|: <math> x = y - {A_2 \over 3} </math>}}
によって変数変換を行うと
{{Indent|: <math> y^3 + \left(A_1 - {A_2^2 \over 3}\right) y + \left(A_0 - {1 \over 3} A_1 A_2 +{2 \over 27} A_2^3 \right) = 0 </math>}}
のように二次の項が消えた方程式が得られる。見やすいように一次の係数を <math>''p \qquad </math>'', 定数項を <math>''q \qquad </math>'' とし
{{Indent|: ''y''<mathsup>y^3</sup> + py''p y'' + ''q'' = 0 \qquad </math>}}
と書く。さらに
: ''y'' = ''u'' + ''v''
{{Indent|<math>y = u + v \qquad </math>}}
と置くと
{{Indent|: ''u''<mathsup>u^3</sup> + ''v^''<sup>3</sup> + ''q'' +(3uv3''uv'' + ''p'') (''u ''+ ''v'') = 0 \qquad </math>}}
ここで
: ''u''<sup>3</sup> + ''v''<sup>3</sup> + ''q'' = 0
{{Indent|<math>u^3 + v^3 +q = 0 \qquad </math><br />
<math>3uv: 3''uv'' + ''p'' = 0 \qquad </math>}}
となる <math>''u \qquad </math> '', <math>''v \qquad </math>'' を探せば、そこから <math>''y \qquad </math>'' の値が求まる。
この二つの式から <math>''v \qquad </math>'' を消去すると
{{Indent|: <math> u^6 + q u^3 - \left({p \over 3}\right)^3 = 0 </math>}}
この式は ''u''<sup>3</sup> に関して見ると二次方程式なので、公式から
{{Indent|: <math> u^3 = - {q \over 2} \pm \sqrt{\left({q \over 2}\right)^2 + \left({p \over 3}\right)^3}</math>
{{Indent|<math>::''u \qquad </math>'' と <math>''v \qquad </math> '' は対称なので、この二つの解の一方を ''u''<mathsup>u^3 \qquad </mathsup> にとれば、他方は ''v''<mathsup>v^3 \qquad </mathsup> になる。}} }}
それぞれの[[立方根]]の和として
{{Indent|: <math> y = \sqrt[3]{- {q \over 2} + \sqrt{\left({q \over 2}\right)^2 + \left({p \over 3}\right)^3}} + \sqrt[3]{- {q \over 2} - \sqrt{\left({q \over 2}\right)^2 + \left({p \over 3}\right)^3}}</math>}}
が求まる。
この解法が見つけられた当時は[[複素数]]は知られていなかったため、これで解を求めたことになったが、その後、複素数についての研究が進み
{{Indent|: ''x''<sup>3</sup> <nowiki>=</nowiki> ''a''}}
の解が ω を 1 の立方根として
{{Indent|: <math> \sqrt[3]{a}, \omega \sqrt[3]{a}, \omega^2 \sqrt[3]{a} </math>}}
の 3 つあることが知られるようになってからは ''u'' の立方根をとる際にも同様に 3 つの場合を考えるようになり、それぞれに対応する ''v'' を求めることで
{{Indent|: <math> y = \omega^k \sqrt[3]{- {q \over 2} + \sqrt{\left({q \over 2}\right)^2 + \left({p \over 3}\right)^3}} + \omega^{3-k} \sqrt[3]{- {q \over 2} - \sqrt{\left({q \over 2}\right)^2 + \left({p \over 3}\right)^3}}, (k=0,1,2)</math>}}
が解として知られるようになった。
また
{{Indent|: ''x''<sup>3</sup> + ''y''<sup>3</sup> + ''z''<sup>3</sup> − 3 ''x y z''<br />
<nowiki>: =</nowiki> (''x'' + ''y'' + ''z'') (''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup> + ''z''<sup>2</sup> − ''z x'' − ''x y'' − ''y z'')<br />
<nowiki>: =</nowiki> (''x'' + ''y'' + ''z'')(''x'' + ω ''y'' + ω<sup>2</sup> ''z'')(''x'' + ω<sup>2</sup> ''y'' + ω ''z'')}}
という因数分解からもカルダノの方法を説明することができる。
{{Indent|: ''y''<sup>3</sup> + ''z''<sup>3</sup> <nowiki>=</nowiki> ''q''<br />
: −3 ''y z'' <nowiki>=</nowiki> ''p''}}
とおいてみると ''p'', ''q'' から ''y'', ''z'' を求めることにより
{{Indent|: ''x''<sup>3</sup> + ''p x'' + ''q''<br />
<nowiki>: =</nowiki> (''x'' + ''y'' + ''z'')(''x'' + ω ''y'' + ω<sup>2</sup> ''z'')(''x'' + ω<sup>2</sup> ''y'' + ω ''z'')}}
という三次の多項式の因数分解が計算できる。この計算はカルダノの方法と同じである。
=== 還元不能の場合 ===
カルダノの公式を用いると
{{Indent|: ''x''<sup>3</sup> + ''p x'' + ''q'' <nowiki>=</nowiki> 0}}
という三次方程式は
{{Indent|: <math> \left({q \over 2}\right)^2 + \left({p \over 3}\right)^3 < 0 </math>}}
の時に負の数の平方根が現れる。これは、この方程式の[[判別式]]
{{Indent|: ''D'' <nowiki>=</nowiki> − (4 ''p''<sup>3</sup> + 27 ''q''<sup>2</sup>) > 0}}
と同値な条件であり 3 つの異なる実数解を持つ条件である。実数解しかないのにも関わらず、カルダノの公式では負の数の平方根を経由する必要がある。[[ジェロラモ・カルダーノ|カルダノ]]は負の数の平方根を計算に用いることはあったものの、それらの場合は不可能で役に立たないものと考えていた。
[[ラファエル・ボンベリ]](''Rafael Bombelli'')は、この場合を詳しく研究し[[1572年]]に出版した『代数学』(''Algebra'')に記した。形式的な計算ではあるものの、当時はまだ知られていない[[複素数|虚数]]の計算と同じであった。ボンベリは
{{Indent|: ''x''<sup>3</sup> <nowiki>=</nowiki> 15 ''x'' + 4}}
という ''x'' = 4 を解に持つ方程式を例にあげた。この方程式をカルダノの公式で計算してみると
{{Indent|: <math> x = \sqrt[3]{2+\sqrt{-121}} + \sqrt[3]{2-\sqrt{-121}} </math>}}
となるが、ボンベリはこの右辺は、今日でいうところの共役な複素数の和であると考え、負の数の平方根の演算規則を与えた上で
{{Indent|: <math> \left(2 \pm b \sqrt{-1}\right)^3 = 2 \pm \sqrt{-121} </math>}}
から ''b'' = 1 を求め、元の方程式が ''x'' = 4 を解に持つことを説明した。
一般には
{{Indent|: <math> \left(a \pm b \sqrt{-1}\right)^3 = 2 \pm \sqrt{-121} </math>}}
から ''a'', ''b'' の二つの値を求めなければならないが、これを求めるためには別の三次方程式が現れるため、カルダノはこの場合を'''還元不能'''（かんげんふのう、''casus irreducibilis''）と呼んだ。この還元不能の場合を回避するために様々な努力がなされたが、実は、虚数を避けて実数の[[冪根]]と四則演算を有限回用いだだけで解を書き下す事は不可能であるため、全て徒労に終わった。
===3次方程式の解の公式===
<math>ax^3+bx^2+cx+d=0 (a\ne0)</math>の解は
<math>x={1\over6a}(-2b+p\sqrt[3]{4(-27a^2d+9abc-2b^3+3a\sqrt{3(27a^2d^2-18abcd+4ac^3+4b^3d-b^2c^2)})}+q\sqrt[3]{4(-27a^2d+9abc-2b^3-3a\sqrt{3(27a^2d^2-18abcd+4ac^3+4b^3d-b^2c^2)})})</math>
ただし、
<math>(p,q)=(1,1),(\omega,\omega^2),(\omega^2,\omega)</math>
（<math>\omega,\omega^2</math>は1の複素立方根で、この3組により3つの解を得られる）
また、2つの立方根の積は<math>4(b^2-3ac)</math>となるように取る。
== ビエタの解 ==
解法を代数的なものに限らないのであれば、還元不能の場合の解も虚数を使わずに書けることが知られている。[[フランソワ・ビエタ]]は、[[三角関数]]の三倍角の公式
{{Indent|: cos 3 ''α'' <nowiki>=</nowiki> 4 cos<sup>3</sup> ''α'' − 3 cos ''α''}}
を変形した
{{Indent|: <math> \cos^3 \alpha = {3 \over 4} \cos \alpha + {1 \over 4} \cos 3 \alpha </math>}}
と、三次方程式
{{Indent|: ''x''<sup>3</sup> <nowiki>=</nowiki> ''p xpx'' + ''q''}}
の類似性に着目し ''p'' = 3 ''a''<sup>2</sup>, ''q'' = ''a''<sup>2</sup> ''b''とおいた式
{{Indent|: ''x''<sup>3</sup> <nowiki>=</nowiki> 3 ''a''<sup>2</sup> ''x'' + ''a''<sup>2</sup> ''b''}}
を考えた。
{{Indent|: ''x'' <nowiki>=</nowiki> 2 ''a'' cos ''α''}}
として両辺を 8 ''a''<sup>3</sup> で割り、三倍角の公式より得た式と比較すれば
{{Indent|: <math> \cos 3 \alpha = {b \over 2a}</math><br />
: <math> \alpha = {1 \over 3} \arccos {b \over 2a} </math><br />
: <math> x = 2a \cos \alpha = 2a \cos \left({1 \over 3} \arccos {b \over 2a}\right)</math>}}
という解が得られる。この解のことを'''ビエタの解'''という。
{{Indent|: <math> \cos 3 \alpha = {b \over 2a} </math>}}
は 0 ≦≤ 3''α''3α ≦≤ ''π''、つまり 0 ≦≤ ''α'' ≦≤ ''π''/3 に解を 1 つ持つ。この解を ''α''<sub>1</sub> とすれば、他の解は ''α''<sub>2</sub> = ''α''<sub>1</sub> + 2''π''2π/3、''α''<sub>3</sub> = ''α''<sub>1</sub> + 4''π''4π/3と表せ、これに対応して 3 つの実数解が定まる。
この解において、arccos の変数の絶対値は 1 以下でなければならないが、これはカルダノの公式において還元不能の場合に対応する。カルダノの公式と違い、負の数の平方根というよく知られていないものを避け実数の計算だけで解を得ることができた。しかし、逆三角関数や三角関数の計算を含むため厳密な値を得るのは大変である。
[[ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュ|ラグランジュ]]は、三次方程式や四次方程式の代数的解法を分析し、根の置換という代数方程式論の方向性を決定づける重要な概念に到達した。この研究は[[ガロア理論]]の発見へと繋がっていった。
{{Indent|: ''x''<sup>3</sup> + ''A''<sub>2</sub> ''x''<sup>2</sup> + ''A''<sub>1</sub> ''x'' + ''A''<sub>0</sub> <nowiki>=</nowiki> 0}}
の 3 つの解を ''r''<sub>0</sub>, ''r''<sub>1</sub>, ''r''<sub>2</sub> とし [[1の冪根|1 の虚立方根]]の一つ
{{Indent|: <math>\omega = {-1 + i \sqrt{3} \over 2}</math>}}
を取る。
{{Indent|: ''s''<sub>0</sub> <nowiki>=</nowiki> ''r''<sub>0</sub> + ''r''<sub>1</sub> + ''r''<sub>2</sub><br />
: ''s''<sub>1</sub> <nowiki>=</nowiki> ''r''<sub>0</sub> + ω ''r''<sub>1</sub> + ω<sup>2</sup> ''r''<sub>2</sub><br />
: ''s''<sub>2</sub> <nowiki>=</nowiki> ''r''<sub>0</sub> + ω<sup>2</sup> ''r''<sub>1</sub> + ω ''r''<sub>2</sub>}}
とおくと
{{Indent|: <math>r_0 = {s_0 + s_1 + s_2 \over 3}</math><br />
: <math>r_1 = {s_0 + \omega^2 s_1 + \omega s_2 \over 3}</math><br />
: <math>r_2 = {s_0 + \omega s_1 + \omega^2 s_2 \over 3}</math>}}
である。[[根と係数の関係]]により ''s''<sub>0</sub> = − ''A''<sub>2</sub> であることが分かるので ''s''<sub>1</sub> と ''s''<sub>2</sub> の二つが分かれば解が求まることになる。ここで ''r''<sub>''m''</sub> と ''r''<sub>''n''</sub> を入れ替える[[対称群|互換]]を σ<sub>''m,n''</sub> と書けば
{{Indent|: (σ<sub>0,1</sub> ''s''<sub>1</sub>) <nowiki>=</nowiki> ''r''<sub>1</sub> + ω ''r''<sub>0</sub> + ω<sup>2</sup> ''r''<sub>2</sub><br />
: ω<sup>2</sup> (σ<sub>0,1</sub> ''s''<sub>1</sub>) <nowiki>=</nowiki> ''r''<sub>0</sub> + ω<sup>2</sup> ''r''<sub>1</sub> + ω ''r''<sub>2</sub> <nowiki>=</nowiki> ''s''<sub>2</sub>}}
が得られる。両辺を三乗することにより
{{Indent|: σ<sub>0,1</sub> ''s''<sub>1</sub><sup>3</sup> <nowiki>=</nowiki> ''s''<sub>2</sub><sup>3</sup>}}
同様に
{{Indent|: σ<sub>0,1</sub> ''s''<sub>2</sub><sup>3</sup> <nowiki>=</nowiki> ''s''<sub>1</sub><sup>3</sup>}}
σ<sub>0,2</sub> σ<sub>1,2</sub> も計算してみれば分かるとおり、これらの互換は ''s''<sub>1</sub><sup>3</sup> と ''s''<sub>2</sub><sup>3</sup> の入れ替えしかしかない。つまり ''s''<sub>1</sub><sup>3</sup> + ''s''<sub>2</sub><sup>3</sup> と ''s''<sub>1</sub><sup>3</sup> ''s''<sub>2</sub><sup>3</sup> は ''r''<sub>0</sub>, ''r''<sub>1</sub>, ''r''<sub>2</sub> で書けば[[対称式]]になり、それらの[[基本対称式]]で表される。すなわち ''s''<sub>1</sub><sup>3</sup> と ''s''<sub>2</sub><sup>3</sup> を解とする二次方程式
{{Indent|: (''z'' − ''s''<sub>1</sub><sup>3</sup>)(''z'' − ''s''<sub>2</sub><sup>3</sup>) <nowiki>=</nowiki> ''z''<sup>2</sup> −(''s''<sub>1</sub><sup>3</sup> + ''s''<sub>2</sub><sup>3</sup>) ''z'' + ''s''<sub>1</sub><sup>3</sup> ''s''<sub>2</sub><sup>3</sup> <nowiki>=</nowiki> 0}}
の係数は、もとの三次方程式の係数 ''A''<sub>2</sub>, ''A''<sub>1</sub>, ''A''<sub>0</sub> で表されることになる。実際にこれは
{{Indent|: <math>z^2 - \left( -2 A_2^3 + 9 A_1 A_2 - 27 A_0 \right) z + \left( A_2^2 - 3 A_1 \right)^3 = 0</math>}}
という二次方程式になり、この解は[[#根の様子|根の様子]]を調べた時に定義した記号 Δ と Δ<sub>2</sub> によって
{{Indent|: <math>{\Delta_2 \pm 3 \sqrt{-3\Delta} \over 2} </math>}}
と書くことができる。
[[ファイル:CubicEquation 1.png|thumb|この 2 つの放物線の交点の ''x'' 座標は 0 と ''a'' であり、''a'' は、三次方程式 ''x''<sup>3</sup> = ''p''<sup>2</sup> ''q'' の実数解である]]
''x yxy'' 平面上の 2 つの[[放物線]]を表す式
{{Indent|: ''x''<sup>2</sup> <nowiki>=</nowiki> ''p ypy'' (''p'' > 0)<br />
: ''y''<sup>2</sup> <nowiki>=</nowiki> ''q xqx'' (''q'' > 0)}}
において ''y'' を消去すると、
{{Indent|: ''x''<sup>4</sup> <nowiki>=</nowiki> ''p''<sup>2</sup> ''q xqx''}}
となり、この 2 つの放物線の交点の ''x'' 座標は、
{{Indent|: <math> x = 0, \sqrt[3]{p^2 q}</math>}}
となり、x <nowiki>=</nowiki> 0 でない方の交点の位置によって
{{Indent|: ''x''<sup>3</sup> <nowiki>=</nowiki> ''p''<sup>2</sup> ''q''}}
という形の三次方程式の解が得られることになる。特に ''q'' <nowiki>=</nowiki> 2 ''p'' ととれば、[[立方体倍積問題]]と同値な三次方程式
{{Indent|: ''x''<sup>3</sup> <nowiki>=</nowiki> 2 ''p''<sup>3</sup>}}
の実数解を、[[線分]]の長さとして得たことになる。
また、放物線と[[円 (数学)|円]]を表す式
{{Indent|: ''x''<sup>2</sup> <nowiki>=</nowiki> ''p y'' (''p'' > 0)<br />
: ''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup> <nowiki>=</nowiki> ''q x'' (''q'' > 0)}}
において同様に ''y'' を消去すれば
{{Indent|: ''p''<sup>2</sup> ''x''<sup>2</sup> + ''x''<sup>4</sup> <nowiki>=</nowiki> ''q x''}}
であり、''x'' <nowiki>=</nowiki> 0 以外の交点を求めることは
{{Indent|: ''x''<sup>3</sup> + ''p''<sup>2</sup> ''x'' <nowiki>=</nowiki> ''q''}}
という三次方程式の実数解を与えるのと同じである。
一般に、
{{Indent|: ''a''<sub>3</sub> ''x''<sup>3</sup> + ''a''<sub>2</sub> ''x''<sup>2</sup> + ''a''<sub>1</sub> ''x'' + ''a''<sub>0</sub> <nowiki>=</nowiki> 0 (''a''<sub>3</sub> ≠ 0)}}
という三次方程式は
{{Indent|: ''x''<sup>2</sup> <nowiki>=</nowiki> ''p ypy'' (''p'' > 0)<br />
: ''a''<sub>3</sub> ''p''<sup>2</sup> ''y''<sup>2</sup> + ''a''<sub>2</sub> ''p x y'' + ''a''<sub>1</sub> ''x''<sup>2</sup> + ''a''<sub>0</sub> ''x'' <nowiki>=</nowiki> 0 (''a''<sub>3</sub> ≠ 0)}}
というように、放物線と、もう 1 つの円錐曲線の組み合わせでも書けるし
{{Indent|: ''x''<sup>2</sup> <nowiki>=</nowiki> ''p ypy''<br />
: (''a''<sub>3</sub> ''x'' + ''a''<sub>2</sub>) ''p ypy'' + ''a''<sub>1</sub> ''x'' + ''a''<sub>0</sub> <nowiki>=</nowiki> 0}}
のように、放物線と双曲線の交点としても表すことができる。
[[古代ギリシア]]では、三大作図問題の 1 つとして知られる[[立方体倍積問題]]が、[[キオスのヒポクラテス]]によって、与えられた 2 つの数 ''p'', ''q'' から
{{Indent|: ''p'' : ''x'' <nowiki>=</nowiki> ''x'' : ''y'' <nowiki>=</nowiki> ''y'' : ''q''}}
となる数 ''x'', ''y'' を求めるという、[[比]]の問題に帰せられた。
[[メナイクモス]]は、ヒポクラテスのアイデアから[[円錐曲線]]を思いつき、立方体倍積問題を[[円錐曲線による作図]]によって解いた。この業績によって、メナイクモスは、円錐曲線の発見者と考えられている。立方体倍積問題は
{{Indent|: ''x''<sup>3</sup> <nowiki>=</nowiki> 2 ''p''<sup>3</sup> (''p'' > 0)}}
の形の三次方程式を解くことと同じであり、メナイクモスによる方法は、三次方程式の幾何学的解法の 1 つと考えられ、円錐曲線の数表を計算しておけば、三次方程式の根の近似値も得ることができることになる。しかし、一般に円錐曲線は、[[定規とコンパスによる作図|プラトンの束縛]]の下で作図できる[[曲線]]ではないため、円錐曲線による幾何学的解法は立方体倍積問題の解法とは見なされない。このような円錐曲線の研究は、[[アルキメデス]]や[[イブン・アル・ハイサム]]等を経て、[[セルジューク朝]]期[[ペルシャ]]の[[ウマル・ハイヤーム]]により拡張され、様々な形をした三次方程式の根が、円錐曲線同士の交点として調べられ、網羅された。
三次方程式の[[代数方程式|代数的解法]]は、16世紀頃に[[ボローニャ大学]]の[[シピオーネ・デル・フェッロ]]によって発見されたとされる。デル・フェロの解いた三次方程式は
{{Indent|: ''x''<sup>3</sup> + ''a''<sub>1</sub> ''x'' <nowiki>=</nowiki> ''a''<sub>0</sub> (''a''<sub>1</sub> 及び ''a''<sub>0</sub> は[[正の数と負の数|正]]）}}
という形の物である。当時はまだ、負の数はあまり認められていなかったため、[[係数]]を正に限った形をしている。
三次方程式の解法があるという噂を元に[[ニコロ・フォンタナ|タルタリア]](''Tartaglia'')は、独力かどうかは分からないが
{{Indent|: ''x''<sup>3</sup> + ''a''<sub>2</sub> ''x''<sup>2</sup> <nowiki>=</nowiki> ''a''<sub>0</sub> (''a''<sub>2</sub> 及び ''a''<sub>0</sub> は正）}}
の形の三次方程式を解くことに成功し、さらにはデル・フェロの三次方程式の解法にも辿り着いた。タルタリアが三次方程式を解いたとの噂を聞いたフィオルは噂を信用せずタルタリアに計算勝負を挑み、打ち負かして名声を上げようとしたものの、デル・フェロの三次方程式の解法しか知らなかったため、計算勝負に負けた。
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