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{{電磁気学}}
'''電磁ポテンシャル'''は電磁場を作り出す[[スカラーポテンシャル]] <math>\phi(t, \boldsymbol{x})</math> と[[ベクトルポテンシャル]]''' <math>\boldsymbol{A'''}(t, \boldsymbol{x})</math>の総称。
 
[[特殊相対性理論|相対論的]]には[[4元ベクトル]]を為し以下のようになる。
電磁場が静的な場合、すなわち電磁場が時間的な変化を伴わない場合、スカラーポテンシャルは静電ポテンシャルないしは[[電位]]とも呼ばれる。ベクトルポテンシャルは真空中における[[マクスウェルの方程式]]（微分形）に初期段階では含まれていたが、その後ヘルツによって消去された。ベクトルポテンシャルは長らく計算上便宜的に導入されたものと思われてきたが、[[アハロノフ＝ボーム効果]]により物理的な意味を持つ量であることが示された。
{{Indent|
<math>A^\mu = (\phi/c , \boldsymbol{A}) ,\; A_\mu = (-\phi/c , \boldsymbol{A} )</math> ~▼
* <math>A_\nablamu = (\cdotphi/c, -\boldsymbol{DA} = \rho)</math> : (2a)▼
}}
また、[[ゲージ理論]]としてみると、U(1) ゲージ対称性に対する[[ゲージ場]]である。
 
== 概要 ==
[[4元ベクトル|四元ベクトル]]として表せば以下のようになる。
マクスウェル方程式は二組の方程式からなる。第一の組は、マクスウェル自身の原著論文『[[電磁場の動力学的理論]]』や原著教科書『[[電気磁気論]]』では、▼
{{Indent|(0-a) :
* <math>\boldsymbol{E} = - \nabla \phi - \frac{\partial \boldsymbol{A}}{\partial t} </math> : (0a)▼
}}
{{Indent|(0-b) :
* <math>\boldsymbol{B} = \nabla \times \boldsymbol{A} </math> : (0b)▼
}}
として電磁場が定義されている。
 
であったが、後にヘルツによって[[電磁ポテンシャル]]が消去され、上記この二式は▼
▲<math>A^\mu = (\phi/c , \boldsymbol{A}) ,\; A_\mu = (-\phi/c , \boldsymbol{A} )</math>
{{Indent|(1-a) :
* <math>\nabla \cdot \boldsymbol{EB} </math> <math> = \frac{\rho}{\varepsilon_0}0</math> : (2a')▼
}}
{{Indent|(1-b) :
<math>\nabla\times \boldsymbol{E}
* <math>\nabla \times \boldsymbol{E} + \frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t} = 0 </math> : (1b)▼
}}
によってとなって代わられた。このヘルツによる現在では電磁ポテンシャルの消去後のものを、マクスウェルの方程式とみなすのが、現在の主流の解釈となっされている。▼
そのため、(0a)と(0b0)式は、以後逆に電磁ポテンシャルの定義式とみなされるようになった。▼
 
==真空中におけるマクスウェルの方程式（微分形）==の残りの式は
{{Indent|(2-a) :
<math>\nabla\cdot \boldsymbol{D} = \rho</math>
}}
{{Indent|(2-b) :
<math>\nabla\times \boldsymbol{H}
-\frac{\partial\boldsymbol{D}}{\partial t}
= \boldsymbol{j} </math>
}}
であるが、真空中では、 '''D''' = &epsilon;<sub>0</sub> '''E'''、&mu;<sub>0</sub> '''H''' = '''B'''の関係があるので▼
{{Indent|(2'-a) :
<math>\frac{1}{c}\nabla\cdot \boldsymbol{E} = \mu_0\rho c</math>
}}
{{Indent|(2'-b) :
<math>\nabla \times \boldsymbol{B}
* <math>\nabla \times \boldsymbol{B} -\frac{1}{c^2}\frac{\partial\boldsymbol{E}}{\partial t} = \mu_0\boldsymbol{j} </math> : (2b')▼
= \mu_0\boldsymbol{j} </math>
}}
となる。ここで、c は光速度で <math>c^2 = 1/\epsilon_0\mu_0</math> である。
これに(0a),(0b0)式を代入すると、▼
{{Indent|(3-a) :
* <math>\frac{1}{c}\nabla^2 \phi + \nabla \cdot \frac{1}{c}\frac{\partial \boldsymbol{A}}{\partial t} = - \frac{\rho}{\varepsilon_0}</math> : (2a' ')▼
= -\mu_0\rho c</math>
}}
{{Indent|(3-b) :
* <math>- \nabla (\frac{1}{c^2}\frac{\partial}{\partial t} \phi + \nabla \cdot \boldsymbol{A}) + (-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}+\nabla^2)\boldsymbol{A} = -\mu_0 \boldsymbol{j}</math> : (2b' ')▼
}}
が得られる。
 
== 相対論的な表示 ==
▲マクスウェル方程式は二組の方程式からなる。第一の組は、マクスウェル自身の原著論文『[[電磁場の動力学的理論]]』や原著教科書『[[電気磁気論]]』では、
相対論的に4元ベクトル <math>A^\mu</math> で書くと(0)式は
▲* <math>\boldsymbol{E} = - \nabla \phi - \frac{\partial \boldsymbol{A}}{\partial t} </math> : (0a)
{{Indent|
▲* <math>\boldsymbol{B} = \nabla \times \boldsymbol{A} </math> : (0b)
<math>F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu -\partial_\nu A_\mu</math>
}}
となる。それぞれの成分は
{{Indent|
<math>(E_1, E_2, E_3)/c = (F_{01}, F_{02}, F_{03}),~
(B_1, B_2, B_3) = (F_{32}, F_{13}, F_{12})</math>
}}
である。
 
(1)式は
▲であったが、ヘルツによって[[電磁ポテンシャル]]が消去され、上記の二式は
{{Indent|
 
* <math>\nablapartial_\rho F_{\cdotmu\nu} +\boldsymbolpartial_\mu F_{B\nu\rho} =+\partial_\nu F_{\rho\mu} =0</math> : (1a)
}}
▲* <math>\nabla \times \boldsymbol{E} + \frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t} = 0 </math> : (1b)
となる。
 
(2')式、及び(3)式は
▲によってとって代わられた。このヘルツによる電磁ポテンシャルの消去後のものを、マクスウェルの方程式とみなすのが、現在の主流の解釈となっている。
{{Indent|
▲そのため、(0a)と(0b)は、以後電磁ポテンシャルの定義式とみなされるようになった。
<math>\partial_\nu F^{\nu\mu} = j^\mu</math>
 
}}
第二の組は、
{{Indent|
▲* <math>\nabla \cdot \boldsymbol{D} = \rho</math> : (2a)
* <math>\nablapartial_\nu \timespartial^\nu A^\boldsymbol{H}mu -\frac{\partial^\boldsymbol{D}}{mu(\partialpartial_\nu t}A^\nu) = j^\boldsymbol{j} mu</math> : (2b)
}}
 
である。
▲真空中では、'''D''' = &epsilon;<sub>0</sub> '''E'''、&mu;<sub>0</sub> '''H''' = '''B'''の関係があるので
▲* <math>\nabla \cdot \boldsymbol{E} </math> <math> = \frac{\rho}{\varepsilon_0}</math> : (2a')
▲* <math>\nabla \times \boldsymbol{B}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial\boldsymbol{E}}{\partial t} = \mu_0\boldsymbol{j} </math> : (2b')
 
▲これに(0a),(0b)を代入すると、
▲* <math>\nabla^2 \phi + \nabla \cdot \frac{\partial \boldsymbol{A}}{\partial t} = - \frac{\rho}{\varepsilon_0}</math> : (2a' ')
▲* <math>- \nabla (\frac{1}{c^2}\frac{\partial}{\partial t} \phi + \nabla \cdot \boldsymbol{A}) + (-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}+\nabla^2)\boldsymbol{A} = -\mu_0 \boldsymbol{j}</math> : (2b' ')
 
四元ベクトルで書くと、
* <math>\square A^\mu - \frac{\partial^2 A^\nu}{\partial x_\mu \partial x^\nu} = - \frac{j^\mu}{\varepsilon_0 c^2}</math>
 
== 静的な場のポテンシャル ==
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