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'''ポアンカレ群'''（ポアンカレぐん）とは、[[ミポアンコフスキー空間]]における[[等長写像|等長カレ変換]]の為す[[群 (数学)|変換群]]。10次元の[[コンパクト|ノンコンパクト]][[リー群]]である。
 
== ポアンカレ変換 ==
'''ポアンカレ変換'''とは、'''[[ミンコフスキー空間]]'''における[[等長写像|等長変換]]である。
 
ポアンカレ変換は並進と[[ローレンツ変換]]からなり、並進の[[リー群#指数写像|生成子]] P は[[運動量]]、[[ローレンツ変換]]の生成子 M は[[角運動量]]である。
 
ミンコフスキー空間上の[[関数]]（[[スカラー場]]）φ(x) を考えると
{{Indent|
*<math>i[P_\mu,P_ \nuphi(x)] =0 \,partial_\mu\phi(x)</math>▼
}}
{{Indent|
<math>i[M_{\mu\nu}, \phi(x)] = x_\mu\partial_\nu\phi(x) -x_\nu\partial_\mu\phi(x)</math>
}}
となる。
 
== ポアンカレ代数 ==
ポアンカレ代数とはポアンカレ群の[[リー代数]]で、次の[[交換関係]]をみたす。
{{Indent|
▲*<math>[P_\mu,P_\nu]=0\,</math>
*<math>i[M_{P_\mu\nu}, P_\rhonu] =0</math>
}}
=-i(\eta_{\mu\rho}P_\nu-\eta_{\nu\rho}P_\mu)\,</math>▼
{{Indent|
*<math>[M_{\mu\nu},M_{\rho\sigma}]▼
=-<math>i(\eta_[M_{\mu\rhonu}M_{, P_\nu\sigma}rho]
-=\eta_{\numu\rho}M_P_\nu -\eta_{\munu\sigmarho}P_\mu</math>
}}
-\eta_{\mu\sigma}M_{\nu\rho}▼
{{Indent|
+\eta_{\nu\sigma}M_{\mu\rho})\,</math>
▲*<math>i[M_{\mu\nu}, M_{\rho\sigma}]
ここで、P は[[並進]]の[[生成子]]([[運動量]])で、M は[[ローレンツ変換]]の生成子([[角運動量]])である。&eta;はミンコフスキー空間の[[計量]]である。
▲ =-i(\eta_{\mu\rho}P_M_{\nu\sigma} -\eta_{\nu\rho}P_M_{\mu)\,</math>sigma}
▲ -\eta_{\mu\sigma}M_{\nu\rho} +\eta_{\nu\sigma}M_{\mu\rho}</math>
}}
 
== 関連項目 ==
* [[ネーターの定理]]
 
{{Math-stub}}
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