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{{dablink|[[トポス]]論における冪対象とは異なる}}
[[数学]]、特に[[圏論]]において、'''冪対象'''は[[集合論]]的な写像に圏論的同値性を与えるものと考えられる。任意の対象に[[直積]]と冪対象を持ち、終対象を持つ圏を[[デカルト閉圏]]という。
[[数学]]の特に[[圏論]]における'''指数対象'''（しすうたいしょう、{{lang-en-short|''exponential object''}}）は、[[集合論]]における写像空間（[[配置集合]]）に相当する、圏論における対象である。任意の有限[[積 (圏論)|積]]と指数対象を持つ圏は[[デカルト閉圏]]という。指数対象は'''冪対象'''（べきたいしょう、{{lang-en-short|''power object''}}）や配置対象（''map object''; 写像対象）とも呼ばれる（が、「冪対象」という呼称は、[[トポス論]]において「冪集合」のアナロジーとして本項で言うのとは異なる意味で用いるので注意すべきである）。
 
== 定義 ==
''C'' は[[直積 (圏論)|二項積]]をも持つ圏とし、 ''Y'' と, ''Z'' は ''C'' の対象とする. 直積。指数対象 ''Z''<sup>''Y''</sup> は[[関手]] &ndashmdash;&thinsp;&times;&thinsp;''Y'' からを ''Z'' へ写す[[函手]]からの[[普遍性射]]として定義することができる.（この (&ndash;&times;''YC'' はから ''C'' への函手 &rarrmdash;&thinsp;&times;&thinsp; ''CY'' なる関手であって、任意のは対象 ''WX'' を ''WX'' &times; ''Y'' へ写し、任意の射 ''f''&phi; を ''f''&phi;&thinsp;&times;&thinsp;id<sub>''Y''</sub> にへ写す).ような函手である）。▼
 
この定義を陽に述べるならば以下のようになる。評価射
▲''C'' は[[直積]]をもつ圏とし、 ''Y'' と ''Z'' は ''C'' の対象とする. 直積対象 ''Z''<sup>''Y''</sup> は[[関手]] &ndash;&times;''Y'' から ''Z'' への[[普遍性]]として定義できる. (&ndash;&times;''Y'' は ''C'' &rarr; ''C'' なる関手であって、任意の対象 ''W'' を ''W''&times;''Y'' へ写し、任意の射 ''f'' を ''f''&times;id<sub>''Y''</sub> に写す).
: <math>\mathrm{eval}\colon (Z^Y \times Y) \rightarrowto Z</math> ▼
 
明らかに、この定義は以下のよを伴うになる。対象 ''Z''<sup>''Y''</sup> が冪指数対象であるとは、ある任意の対象 ''X'' と射（評価 ''g'': (''X'' &times; ''Y'') &rarr; ''Z'' に対し、射）
▲:<math>\mathrm{eval}\colon (Z^Y \times Y) \rightarrow Z</math>
が存在して、任意の対象 ''X'' および射 ''g'' : (''X''&times;''Y'') &rarr; ''Z'' に対して射
:<math>\lambda g\colon X\to Z^Y</math>
で次の図式
が唯一に存在し、次の図式を[[可換図式]]とする:
[[File:ExponentialObject-01.png|center|Universal property of the exponential object指数対象の普遍性]]▼
を[[可換図式|可換]]とするものが一意的に存在するときに言う。''C'' の各対象 ''Z'' に対して指数対象 ''Z''<sup>''Y''</sup> が存在するならば、''Z'' を ''Z''<sup>''Y''</sup> へ写す函手は、函手 &mdash; &times; ''Y'' の[[右随伴]]となる。この場合、[[射集合]] (hom-set) の間の自然な全単射
:<math>\mathrm{Hom}(X\times Y,Z) \cong \mathrm{Hom}(X,Z^Y).</math>▼
が取れる。
 
（注釈意: [[関函数型言語]]においてでは、ここで言う射 ''"eval''" はをしばしば適用 ''"[[apply|{{code|apply}}]]''" と呼ばれる。 またび、構文 <math>\&lambda ;''g</math>'' はをしばしば ''[[カリー化|{{code|curry]]''(''g'')}}]] と書かれるく。ここで言う射 ''"eval''" はいくつを、何らかの[[プログラミング言語|言語]]における、quoteされ引数にとった式の値を返す（式を評価する関）評価函数 ''[[eval''|{{code|eval}}]] と混同してはならない。）。▼
▲[[File:ExponentialObject-01.png|center|Universal property of the exponential object]]
 
射 <math>''g</math>'' とおよび <math>\&lambda ;''g</math>'' はつねが、互いに他方と（原文:の「指数随伴」(''exponential adjoints）でadjoints'') と呼ばれることもある。<ref name="Goldblatt">{{cite book | title = Topoi : the categorial analysis of logic | last1 = Goldblatt | first1 = Robert | authorlink = Robert Goldblatt | publisher = [[North-Holland Publishing Company|North-Holland]] | edition = Revised | year = 1984 | page = 72 | chapter = Chapter 3: Arrows instead of epsilon | isbn = 978-0-444-86711-7 | series = Studies in Logic and the Foundations of Mathematics #98}}</ref>。▼
もし圏 ''C'' において冪対象 ''Z''<sup>''Y''</sup> が任意の対象 ''Z'' に存在するならば、''Z'' から ''Z''<sup>'Y''</sup> への関手は &ndash;&times;''Y'' の[[右随伴]]となる。
このとき、[[hom集合]]の間に自然な全単射を与えられる：
▲:<math>\mathrm{Hom}(X\times Y,Z) \cong \mathrm{Hom}(X,Z^Y).</math>
 
▲（注釈: [[関数型言語]]において、射 ''eval'' はしばしば ''[[apply]]'' と呼ばれる。 また構文 <math>\lambda g</math> はしばしば ''[[カリー化|curry]]''(''g'') と書かれる。射 ''eval'' はいくつかのプログラミング言語における、quoteされた式を評価する関数 ''eval'' と混同してはならない。）
 
▲射 <math>g</math> と <math>\lambda g</math> はつねに他方と（原文:exponential adjoints）である。<ref name="Goldblatt">{{cite book | title = Topoi : the categorial analysis of logic | last1 = Goldblatt | first1 = Robert | authorlink = Robert Goldblatt | publisher = [[North-Holland Publishing Company|North-Holland]] | edition = Revised | year = 1984 | page = 72 | chapter = Chapter 3: Arrows instead of epsilon | isbn = 978-0-444-86711-7 | series = Studies in Logic and the Foundations of Mathematics #98}}</ref>
 
== 例 ==
[[集合の圏]]における指数対象 ''Z''<sup>''Y''</sup> は ''Y'' から ''Z'' への写像全体の成す集合として与えられる。射 eval: (''Z''<sup>''Y''</sup> &times; ''Y'') &rarr; ''Z'' は、順序対 (''f'', ''y'') を ''f''(''y'') へ写す評価写像に他ならない。任意の射 ''g'': (''X'' &times; ''Y'') &rarr; ''Z'' に対して、射 &lambda;''g'': ''X'' &rarr; ''Z''<sup>''Y''</sup> は ''g'' の[[カリー化]]
:<math>\lambda g(x)(y) = g(x,y).\,</math>▼
によって与えられる。
 
[[位相空間の圏]]における指数対象 ''Z''<sup>''Y''</sup> は ''Y'' が[[局所コンパクトハウスドルフ空間]]として与えられれば存在する。この場合、空間 ''Z''<sup>''Y''</sup> は[[コンパクト開位相]]に関して[[連続写像|連続]]な ''Y'' から ''Z'' への写像全体の成す集合として与えられる。評価射に関しては集合の圏のときと同様である。''Y'' が局所コンパクトハウスドルフでないならば、指数対象は存在しない（空間 ''Z''<sup>''Y''</sup> 自体は存在するのだが、評価射が連続とは限らないために指数対象になれないのである）。このことから、位相空間の圏はデカルト閉でないことが従う。だからと言って、局所コンパクト位相空間の圏を考えたのでは、''Z'' と ''Y'' が局所コンパクトでも空間 ''Z''<sup>''Y''</sup> は必ずしも局所コンパクトではないから、やはりデカルト閉圏にはならない。
[[集合の圏]]において、冪対象 <math>Z^Y</math> は <math>Y</math> から <math>Z</math> への写像の全体である。評価射 <math>\mathrm{eval}\colon (Z^Y \times Y)\to Z</math> はちょうど組(''f'',''y'')を''f''(''y'')に写す評価写像となる。任意の射 <math>g\colon X\times Y \to Z</math> に対して <math>\lambda g\colon X\to Z^Y</math> を次のように定義すれば <math>g</math> のカリー化になる：
▲:<math>\lambda g(x)(y) = g(x,y).\,</math>
 
[[位相空間の圏]]において、<math>Y</math> が[[局所コンパクトハウスドルフ空間]]であるという条件のもとに冪対象 <math>Z^Y</math> が存在する。このとき、空間 <math>Z^Y</math> は[[コンパクト開位相]]を持つ2つの位相空間 <math>Y</math> から <math>Z</math> への[[連続関数]]の全体となる。評価射は集合の圏と同様である。If ''Y'' is not locally compact Hausdorff, the exponential object may not exist (the space ''Z''<sup>''Y''</sup> still exists, but it may fail to be an exponential object since the evaluation function need not be continuous). For this reason the category of topological spaces fails to be cartesian closed.
However, the category of locally compact topological spaces is not cartesian closed either, since ''Z''<sup>''Y''</sup> need not be locally compact for locally compact spaces ''Z'' and ''Y''.
 
== 参考文献 ==
*{{cite book|last=Adámek|first=Jiří|coauthors=Horst Herrlich, George Strecker|title=Abstract and Concrete Categories (The Joy of Cats)|publisher=John Wiley & Sons|url=http://katmat.math.uni-bremen.de/acc/|origyear=1990|year=2006}}▼
{{reflist}}
▲* {{cite book|last=Adámek|first=Jiří|coauthors=Horst Herrlich, George Strecker|title=Abstract and Concrete Categories (The Joy of Cats)|publisher=John Wiley & Sons|url=http://katmat.math.uni-bremen.de/acc/|origyear=1990|year=2006}}
 
== 外部リンク ==
* [http://www.j-paine.org/cgi-bin/webcats/webcats.php Interactive Web page ] which generates examples of exponential objects and other categorical constructions. Written by [http://www.j-paine.org/ Jocelyn Paine].
 
{{DEFAULTSORT:へきたいしよう}}
[[Category:圏論的対象]]
[[Category:数学に関する記事]]
 
[[en:Exponential object]]
[[ru:Экспоненциал]]
 
{{翻訳中途|[[en:Exponential object]] 14:02, 6 May 2012|date=2012年10月}}
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