「エネルギー・運動量テンソル」の版間の差分

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== 電磁場のエネルギー・運動量テンソル ==
[[電磁場]]のラグランジアン密度
電磁場のエネルギー・運動量テンソルは以下で定義される量である。
{{Indent|
:<math>T^{\mu\nu} = \frac{1}{4 \pi} (F^{\mu\lambda} {F^{\nu}}_{\lambda} - \frac{1}{4}g^{\mu\nu} F^{\kappa\lambda} F_{\kappa\lambda}) </math>
<math>\mathcal{L}_\mathrm{em}(g, \partial g, A, \partial A)
= -\frac{1}{16\pi} \sqrt{-g} g^{\mu\nu} g^{\rho\sigma}F_{\mu\rho} F_{\nu\sigma}</math>
}}
電磁場のからエネルギー・運動量テンソルは以下で定義されを計算す量である。
{{Indent|
<math>T_{\mu\nu} = -\frac{1}{4\pi}(g^{\rho\sigma}F_{\mu\rho} F_{\nu\sigma}
-\frac{1}{4}g_{\mu\nu} F^{\rho\sigma} F_{\rho\sigma})</math>
}}
となる。ここで、<math>F_{\mu\nu} =\partial_\mu A_\nu -\partial_\nu A_\mu</math> は電磁場テンソル、<math>A_\mu</math> は[[電磁ポテンシャル]]である。
 
<math>T^T_{00}\,</math> は電磁場の[[エネルギー密度]]、<math>T^T_{0j}\,</math> 及び<math>T^T_{i0}\,</math> は[[ポインティング・ベクトル]]、<math>F^T_{ij}\,</math> は[[マクスウェルの応力テンソル]]である。
 
[[ミンコフスキー時空]]では、行列形式で成分を書くと
:<math>F^{\mu\nu} = \begin{pmatrix}0&E_x& E_y&E_z\\-E_x&0&B_z&-B_y\\-E_y&-B_z&0&B_x\\-E_z&B_y&-B_x&0\end{pmatrix}</math>
:<math>F_{\mu\nu} = \begin{pmatrix}0&-E_x&-E_y&-E_z\\E_x&0&B_z&-B_y\\E_y&-B_z&0&B_x\\E_z&B_y&-B_x&0\end{pmatrix}</math>
である。
 
== 関連項目 ==
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