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'''ブラ-ケット記法'''(ブラ-ケットきほう、{{lang-en-short|bra-ket notation}})は[[量子力学]]における[[量子状態]]を記述するための標準的な記法である。
 
この名称は、2つの状態の[[点乗積|内積]]が[[括弧#山括弧|'''ブラケット''']]を用いて <math style="vertical-align: -26%; line-height:100%;">\langle\phi|\psi\rangle</math> のように表され、さらにこの左半分 <math style="vertical-align: -26%; line-height:100%;">\langle\phi|</math> を'''ブラ'''[[ベクトル空間|ベクトル]]、右半分 <math style="vertical-align: -26%; line-height:100%;">|\psi\rangle</math> を'''ケット'''ベクトルと呼ぶことによる。この記法は[[ポール・ディラック]]によって発明されしたため、'''ディラックの記法'''として有名である呼ぶ
 
== 正規直交基底とブラケット記法 ==
 
[[正規直交系|正規直交基底]]のうちのふた2つのラベルを α,β として、内積をブラ-ケット記法で表すと
 
<math>\langle\alpha|\beta\rangle=\delta_{\alpha\beta}</math>
 
(となる(基底が連続的である場合は、[[クロネッカーのデルタ]] <math>\delta_{\alpha\beta}\to</math> を[[ディラックのデルタ関数]] <math>\delta(\alpha-\beta)</math> のように[[デルタ関数]]に置き換える)
となる。
(基底が連続的である場合は <math>\delta_{\alpha\beta}\to\delta(\alpha-\beta)</math> のように[[デルタ関数]]に置き換える。)
 
また正規直交基底の[[完全系|完全性]]は
<math>\sum_\alpha|\alpha\rangle\langle\alpha|=1</math>
 
と表現される。(基底が連続的である場合は、[[総和]] <math>\sum_\alpha\to</math> を[[積分]] <math>\int d\alpha</math> のように積分に置き換える)
 
== 第二量子化とブラケット記法 ==
 
[[第二量子化]]された粒子[[生成消滅演算子|生成演算子]] <math>a^\dagger</math> を用いて2粒子状態を
 
<math>|\alpha\beta\rangle=a^\dagger_\alpha a^\dagger_\beta |0\rangle</math>
 
と定義する。この時、もし演算子 <math>a^\dagger</math> が[[フェルミオン粒子]]を表す[[演算子である場合]]なら、これらは[[交換関係#反交換関係|反交換関係]] <math>\{a^\dagger_\alpha,a^\dagger_\beta\}=0</math> を満たすので、
 
<math>|\alpha\beta\rangle=a^\dagger_\alpha a^\dagger_\beta |0\rangle=-a^\dagger_\beta a^\dagger_\alpha |0\rangle=-|\beta\alpha\rangle</math>
<math>
|\alpha\beta\rangle=a^\dagger_\alpha a^\dagger_\beta |0\rangle=-a^\dagger_\beta a^\dagger_\alpha |0\rangle=-|\beta\alpha\rangle
</math>
 
となり、反対称化されていることがわかる。
 
また、もし演算子 <math>a^\dagger</math> が[[ボゾンース粒子]]を表す演算子である場合れば、これらは[[交換関係]] <math>[a^\dagger_\alpha,a^\dagger_\beta]=0</math> を満たすので、
 
<math>|\alpha\beta\rangle=a^\dagger_\alpha a^\dagger_\beta |0\rangle=a^\dagger_\beta a^\dagger_\alpha |0\rangle=|\beta\alpha\rangle</math>
<math>
|\alpha\beta\rangle=a^\dagger_\alpha a^\dagger_\beta |0\rangle=a^\dagger_\beta a^\dagger_\alpha |0\rangle=|\beta\alpha\rangle
</math>
 
となり、対称化されていることがわかる。
 
{{DEFAULTSORT:ふらけつときほう}}
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