「コーシーの定理 (群論)」の版間の差分

|S|=|G|^(p-1)であるから、|S|はpで割り切れる。p個のfを合成してできる写像f^pは恒等写像であり、Sym(S)の単位元であるので、fの表現における各巡回置換の長さは1またはpである。さらに、fの表現における長さ1の巡回置換の個数をs、長さpの巡回置換の個数をtとすると、

である。なお、sはfの[[不動点]]の個数でもある。|S|=|G|^(p-1)であるから、|S|はpで割り切れるので。ゆえに、sもpで割り切れる。そして、(e,…,e)はSに属し、f(e,…,e)=(e,…,e)なので、s>0であり、p|sよりs>=pである。ゆえにfは(e,…,e)以外にも不動点を持つ。fの定義よりfの不動点は(a,...,a)(a∈G)という形で表せる。fの(e,...,e)以外の不動点の1つ(x,...,x)をとる。x≠eであり、Sの定義よりx^p=eとなる。