「ボード線図」の版間の差分

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{{Indent|<math> \mathrm{T_{High}}(f) = \frac {j f/ f_1} {1 + j f/f_1} \ </math>}}
 
ここで ''f'' は周波数(Hz)([[ヘルツ|Hz]])であり、''f''<sub>1</sub> は極の位置(Hz)である。図では ''f''<sub>1</sub> = 100 Hz とされている。[[複素数]]の法則を使うと、この関数の振幅は次のようになる。
 
{{Indent|<math> \mid \mathrm{T_{High}}(f) \mid = \frac { f/f_1 } { \sqrt{ 1 + (f/f_1)^2 }} \ </math>}}
もうひとつの不安定性への接近性の尺度として'''位相余裕'''がある。ゲイン線図を使うと |β''A''<sub>OL</sub>| が単位元(1)に達する周波数 ''f''<sub>0dB</sub> がわかる。この周波数を位相線図に適用すると β''A''<sub>OL</sub> の位相がわかる。位相 β''A''<sub>OL</sub>( ''f''</sub><sub>0dB</sub>) > −180° なら、どの周波数でも不安定な状態にはならない(''f = f''<sub>180</sub> のときの振幅が1未満になるため)。''f''<sub>0dB</sub> における位相と −180°の位相差を位相余裕という。
 
単に安定かどうかを問うだけなら、''f''<sub>0dB</sub> < ''f''<sub>180</sub> であれば、その増幅回路は安定である。ただし、これが成り立つのは、極と零点の位置がある条件に適合している増幅回路(最小位相系)だけである。そうでない場合も例外的に存在し、その場合は[[ナイキスト線図]]などの他の手法を使わなければならない<ref name="Lee">{{cite book |author=Thomas H. Lee |title=The design of CMOS radio-frequency integrated circuits |pagechapter=§14.6 pp. |pages=451-453 |date= 2004 |edition=Second Edition |publisher=Cambridge University Press |location=Cambridge UK |isbn=0-521-83539-9 |urloclc= http://worldcat.org/isbn/0-521-83539-98034384077}}</ref><ref name="Levine">{{cite book |author=William S Levine |title=The control handbook: the|series=The electrical engineering handbook series |pagechapter=§10.1 p. |page=163 |date= 1996 |edition=Second Edition |publisher=CRC Press/IEEE Press |location=Boca Raton FL |isbn=0849385709|oclc=805684883 |url= http://books.google.com/books?id=2WQP5JGaJOgC&pg=RA1-PA163&lpg=RA1-PA163&dq=stability+%22minimum+phase%22&source=web&ots=P3fFTcyfzM&sig=ad5DJ7EvVm6In_zhI0MlF_6vHDA}}</ref>。
[[ファイル:Magnitude of feedback amplifier.PNG|thumbnail|380px|図6: 負帰還増幅器の利得 ''A''<sub>FB</sub> と対応する開ループ増幅器の利得 ''A''<sub>OL</sub> をdBでプロットした図。パラメータ 1/β = 58 dB で、低い周波数では ''A''<sub>FB</sub> ≈ 58 dB である。&#124; β''A''<sub>OL</sub>&#124; = 1 となる周波数がほぼ ''f'' = ''f''<sub>180°</sub> に近いため、この増幅器のゲイン余裕はほぼ0となる。]]
[[ファイル:Phase of feedback amplifier.PNG|thumbnail|380px|図7: 負帰還増幅器の位相 ''°A''<sub>FB</sub> と対応する開ループ増幅器の位相 ''°A''<sub>OL</sub> を度でプロットした図。位相反転の起きる周波数が &#124; β''A''<sub>OL</sub>&#124; = 1 となる周波数 ''f'' = ''f''<sub>0dB</sub> に近いため、位相余裕はほぼ0になる。]]
図8と図9は、β が異なる設定のときのゲイン余裕と位相余裕を示している。帰還係数は図6および図7の場合よりも小さく設定されており、| β ''A''<sub>OL</sub> | = 1 となる周波数が低くなっている。この例では、1 / β = 77 dB であり、低い周波数では ''A''<sub>FB</sub> ? 77 dB である。
 
図8は利得(振幅)図である。図8から、1 / β と ''A''<sub>OL</sub> の交差は ''f''<sub>0dB</sub> = 1 kHz となることがわかる。''A''<sub>FB</sub> の ''f''<sub>0dB</sub> 付近でのピークはほとんど目立たない([[バターワースフィルタ|バターワース特性]])<ref name="Sansen">{{cite book |author=Willy M C Sansen |title=Analog design essentials |pagedate=2006|chapter=§0517-§0527 pp. |pages=157-163|series= International series in engineering and computer science, 859 |date= 2006 |publisher=Springer |location=Dordrecht, The Netherlands |isbn=0-387-25746-2 |urloclc= http://worldcat.org/isbn/0-387-25746-2209908307}}</ref>。
 
図9は位相線図である。図8で得られた ''f''<sub>0dB</sub> = 1 kHz を使うと、''f''<sub>0dB</sub> での開ループ位相は -135° であり、-180°との差である位相余裕は 45° となる。
図9によれば、位相が -180° となる周波数は ''f''<sub>180</sub> = 3.332 kHz である<ref>位相反転周波数は帰還係数を変えても変化しない、開ループ利得の独立した特性である。''f''<sub>180</sub> での利得も帰還係数とは独立している。従って、図6と図7での値を使うことができる。しかし、ここでは図8と図9のみを使って解説している</ref>。図8から ''f''<sub>180</sub> での開ループ利得は 58dB であり、1 / β = 77 dB であるから、ゲイン余裕は 19dB となる。
 
一方、増幅器の応答特性には安定性以外にも重要なものがある。多くの場合、[[ステップ応答]]が重要となる。経験上、よいステップ応答には少なくとも 45° の位相余裕が必要とされ、70° 以上のものが望ましい。その場合、部品の特性のばらつきが重大な影響を与える<ref name="Sansen2">{{cite book |author=Willy M C Sansen |title=§0526Analog p.design 162essentials |isbnseries=0-387-25746-2International series in engineering and computer science, 859|urldate= http://worldcat.org/2006|page=162|chapter=§0526|isbn/=0-387-25746-2 |oclc=209908307}}</ref>。
 
== ボードプロッタ ==
教育や研究においては、伝達関数からボード線図を描くアプリケーションがあると、よりよくかつ素早く理解できるようになる(外部リンク参照)。
 
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== 脚注・出典 ==
{{Reflist脚注ヘルプ}}
{{Reflist|2}}
 
== 関連項目 ==
{{Commonscat|Bode plots}}
* [[ナイキスト線図]]
* [[ニコルス線図]]
 
== 外部リンク ==
{{Refbegin|2}}
* [http://jegyzet.sth.sze.hu/ftp/!BSc/Szabalyozastechnika/BodePl.pdf What Bode Plots Represent]ボード線図の詳細な説明
* [http://www.facstaff.bucknell.edu/mastascu/eControlHTML/Freq/Freq5.html Bode Plots] 動画や例を交えた解説
* [[gnuplot]] でボード線図を生成するためのコード: [[:画像:Bode plot template.pdf|DIN-A4 printing template (pdf)]]
*[http://wikis.controltheorypro.com/index.php?title=Bode_Plot Bode Plot] ControlTheoryPro.com
{{Refend}}
 
{{DEFAULTSORT:ほとせんす}}
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