「積分変換」の版間の差分
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[[数学]]の分野における'''積分変換'''（せきぶんへんかん、{{Lang-en-short|''Integral transform''}}）とは、次の形式をとるような
:<math> (Tf)(u) = \int_{t_1}^{t_2} K(t, u)f(t)\, dt</math>
43行目:
| <math>\infty\,</math>
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| <math>\mathcal{F}_s</math>
| <math>\frac{\sqrt{2}\sin{(ut)}}{\sqrt{\pi}}</math>
52行目:
| <math>\infty\,</math>
|-
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| <math>\mathcal{F}_c</math>
| <math>\frac{\sqrt{2}\cos{(ut)}}{\sqrt{\pi}}</math>
61行目:
| <math>\infty\,</math>
|-
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| <math>\mathcal{H}</math>
| <math>\frac{\cos(ut)+\sin(ut)}{\sqrt{2 \pi}}</math>
70行目:
| <math>\infty\,</math>
|-
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| <math>\mathcal{M}</math>
| <math>t^{u-1}\,</math>
79行目:
| <math>c\!+\!i\infty</math>
|-
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| <math>\mathcal{B}</math>
| <math>e^{-ut}\,</math>
155行目:
== 定義域が異なる場合 ==
本項では主に、実数全体で定義された関数に対して定義される積分変換を扱うが、より一般な群上で定義された関数に対してもその積分変換を定義することが出来る。
* 円周群上で定義された函数（つまり[[周期関数]]）を用いた場合、積分核は二重周期関数となる。円周上の関数による畳み込みは
* 位数 ''n'' の[[巡回群]]（これを ''C''<sub>''n''</sub> や '''Z'''/''n'''''Z''' で表す）の上で定義された関数を用いた場合、積分核は ''n'' × ''n'' 行列となり、畳み込みは[[巡回行列]]に対応する。
161行目:
各々の積分変換が持つ性質は多岐に渡るが、いくつかの性質は共通のものとなっている。例えば、すべての積分変換は[[線形作用素]]である。実は、核函数が[[超関数]]となることをも許せば、すべての線形作用素は積分変換になる（このことをきちんと定式化したものが{{仮リンク|シュワルツの核定理|en|Schwartz kernel theorem}}である）。
そのような[[積分方程式]]に関する一般論は
==関連項目==
167行目:
* {{仮リンク|ベイトマン変換|en|Bateman transform}}
* [[畳み込み|畳み込み核]]
*
* [[巡回行列]]
* [[微分方程式]]
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