「跡 (線型代数学)」の版間の差分
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[[数学]]、特に[[線型代数学]]における'''跡'''（せき、{{lang-en-short|''trace''}}; '''トレース'''、{{lang-de-short|Spur}}; シュプール）あるいは'''対角和'''（たいかくわ）は、[[線型写像]]（あるいは行列）の[[主対角成分]]の[[総和]]
== 定義 ==
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== 性質 ==
二つの線形空間 ''E'', ''F'' とそれらの間の線形写像 ''a'': ''E'' → ''F'', ''b'': ''F'' → ''E'' について tr(''ab'') = tr(''ba'') が成り立つ。特に、正方行列 ''A'' と可逆行列 ''X'' について不変性 tr(''A'') = tr(''XAX''<sup>−1</sup>) が成り立っている。行列の冪に関する跡 ''p''<sub>''k''</sub>(''A'') = tr(''A''<sup>''k''</sup>) もこのような不変性を持つ。一般に正方行列の成分に関する多項式写像 φ: M<sub>''n''</sub>(''K'') → ''K'' で、このような不変性 φ(''A'') = φ(''XAX''<sup>−1</sup>) を満たすものは、''p''<sub>1</sub>, ..., ''p''<sub>''n''</sub>に関する多項式によって表すことができる。
== 固有値の和に等しいこと ==
正方行列"A"は, 適当な正則行列"P"によって, "P"<sup>-1</sup>"A""P"が上三角行列になるように変形できる。この上三角行列の対角成分には固有値が並ぶ。従って, この上三角行列のトレースは固有値の総和である。一方, 任意の正方行列"X", "Y"について, tr("XY")=tr("YX")が成り立つ。従って, この上三角行列のトレースは, tr("P"<sup>-1</sup>"A""P")=tr(("P"<sup>-1</sup>"A")"P")=tr("P"("P"<sup>-1</sup>"A"))=tr("PP"<sup>-1</sup>"A"))=tr("A")となり, "A"のトレースに等しい。従って, "A"のトレースと, "A"の固有値の総和は, 等しい。
== 関連項目 ==
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