「微分可能関数」の版間の差分
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現実に現れる多くの関数は、すべての点あるいは[[ほとんど (数学)|ほとんどすべて]]の点において導関数を持つものである。しかし、[[ステファン・バナフ]]による一つの結果として、ある点において導関数を持つ関数の集合は、すべての連続関数からなる空間における{{仮リンク|やせた集合|en|meagre set}}であることが示されている<ref>{{cite journal|author=Banach, S.|title=Uber die Baire'sche Kategorie gewisser Funktionenmengen|journal=Studia. Math.|issue=3|year=1931|pages=174–179}}. Cited by {{cite book|author=Hewitt, E and Stromberg, K|title=Real and abstract analysis|publisher=Springer-Verlag|year=1963|pages=Theorem 17.8|nopp=true}}</ref>。くだけた言い方をすると、このことはつまり、微分可能関数は連続関数の中でも珍しいものであることを意味している。至る所で連続であるが、どこにおいても微分可能ではない関数の最もよく知られた例は、[[ワイエルシュトラス関数]]である。
== 微分可能性のクラス ==
{{main|滑らかな関数}}
ある関数 ''f'' は、それ自体連続であるような導関数 ''f''′(''x'') が存在するなら、'''連続的微分可能'''（continuously differentiable）であると言われる。微分可能関数の導関数が[[不連続性の分類|跳躍不連続点]]を持つことは無いが、ある本質的な不連続点を持つことはある。例えば、関数
:<math>f(x) \;=\; \begin{cases} x^2\sin (1/x) & \text{if }x \ne 0 \\ 0 & \text{if }x=0\end{cases}</math>
は点 0 において微分可能である。なぜならば、
:<math>f'(0)=\lim_{\Delta\to0}\left(\frac{\Delta^2\sin(1/\Delta)-0}{\Delta}\right)=0 </math>
が存在するからである。しかし、''x''≠0 に対して、
:<math>f'(x)=2x\sin(1/x)-\cos(1/x)</math>
であるが、これは ''x'' → 0 に対する極限を持たない。それにもかかわらず、{{仮リンク|ダルブーの定理 (解析学)|label=ダルブーの定理|en|Darboux's theorem (analysis)}}によれば、任意の関数の導関数に対して[[中間値の定理]]は成立する。
しばしば連続的微分可能関数は、'''''C''<sup>1</sup>クラス（級）'''に属すると言われる。ある関数に一階および二階の[[導関数]]が存在し、それらが両方とも連続であるとき、その関数は '''''C''<sup>2</sup>クラス'''に属すると言われる。より一般的に、第 ''k'' 階までの導関数 ''f''′(''x''), ''f''″(''x''), ..., ''f''<sup>(''k'')</sup>(''x'') が存在し、すべて連続であるなら、その関数は '''''C''<sup>''k''</sup>クラス'''に属すると言われる。すべての正の整数 n に対して導関数 f<sup>(n)</sup> が存在するなら、その関数は[[滑らかな関数|滑らか]]、あるいは、'''''C''<sup>''∞''</sup>クラス'''に属すると言われる。
== 高次の微分可能性 ==
{{See also|多変数微積分}}
ある関数 {{math|'''f''': '''R'''<sup>''m''</sup> → '''R'''<sup>''n''</sup>}} が点 {{math|'''x<sub>0</sub>'''}} において微分可能であるとは、
:<math>\lim_{\mathbf{h}\to \mathbf{0}} \frac{\mathbf{f}(\mathbf{x_0}+\mathbf{h}) - \mathbf{f}(\mathbf{x_0}) - \mathbf{J}(\mathbf{x_0})\mathbf{h}}{\| \mathbf{h} \|} = \mathbf{0} </math>
を満たすようなある[[線型写像]] {{math|'''J''': '''R'''<sup>''m''</sup> → '''R'''<sup>''n''</sup>}} が[[存在記号|存在]]することを言う。関数が {{math|'''x<sub>0</sub>'''}} において微分可能であるなら、そのすべての偏導関数は {{math|'''x<sub>0</sub>'''}} において存在しなければならず、そのような場合、線型写像 {{math|'''J'''}} は[[ヤコビ行列]]となる。高次導関数の同様の定式化は、一変数微積分において発見された [[:en:fundamental increment lemma|fundamental increment lemma]]によって示される。
ここで、偏導関数の存在は（あるいは、すべての{{仮リンク|方向微分|en|directional derivative}}の存在でさえも）、ある点における関数の微分可能性を保証するものではない、ということに注意されたい。例えば、
:<math>f(x,y) = \begin{cases}y & \text{if }y \ne x^2 \\ 0 & \text{if }y = x^2\end{cases}</math>
で定義される関数 {{math|''f'': '''R'''<sup>2</sup> → '''R'''}} は、{{math|(0, 0)}} において微分可能でないが、そのすべての偏微分と方向微分はその点において存在している。連続的な例として、関数
:<math>f(x,y) = \begin{cases}y^3/(x^2+y^2) & \text{if }(x,y) \ne (0,0) \\ 0 & \text{if }(x,y) = (0,0)\end{cases}</math>
は {{math|(0, 0)}} において微分可能でないが、ふたたびその偏導関数と方向微分はすべて存在する。
ある関数のすべての偏導関数が存在し、ある点の[[近傍]]において連続であるなら、その関数はその点において微分可能でなければならず、実際 ''C''<sup>1</sup> クラスに属する。
== 複素解析における微分可能性 ==
{{main|正則関数}}
[[複素解析]]において、ある点の近傍で複素微分可能な関数はすべて[[正則関数|正則]]と呼ばれる。そのような関数は必ず無限回微分可能であり、実際[[解析関数|解析的]]である。
== 多様体上の微分可能関数 ==
{{See also|微分可能多様体}}
''M'' が{{仮リンク|微分可能多様体|en|differentiable manifold}}であるとき、'M'' 上の実あるいは複素数値関数 ''f'' がある点 ''p'' において微分可能であるとは、それが ''p'' の周りで定義されるある（あるいは、任意の）座標に関して微分可能であることを言う。より一般的に、''M'' と ''N'' が微分可能多様体であるとき、関数 ''f'': ''M'' → ''N'' がある点 ''p'' において微分可能であるとは、それが ''p'' と ''f''(''p'') の周りで定義されるある（あるいは、任意の）座標に関して微分可能であることを言う。
== 関連項目 ==
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