|
== 定義 ==
''<math>\mathbb{C''}</math> は[[積 (圏論)|二項積]]を持つ圏とし、''<math>Y''</math>, ''<math>Z''</math> は ''<math>\mathbb{C''}</math> の対象とする。指数対象 ''Z''<supmath>''Z^Y''</supmath> は 関手 — &<math>-\times; '' Y''</math> から ''<math>Z''</math> への[[普遍射]]として定義することができる（この ''<math>\mathbb{C''}</math> から ''<math>\mathbb{C''}</math> への函手 — &<math>-\times; '' Y''</math> は対象 ''<math>X''</math> を ''<math>X'' &\times; ''Y''</math> へ写し、射 &<math>\phi;</math> を &<math>\phi; &\times; \mathrm{id<sub>''Y''}_Y</submath> へ写すような函手である）。
この定義を陽に述べるならば以下のようになる。評価射
: <math>\mathrm{eval}\colon (Z^Y \times Y) \to Z</math>
を伴う対象 ''Z''<supmath>''Z^Y''</supmath> が指数対象であるとは、任意の対象 ''<math>X''</math> と射 ''<math>g'': (''X'' &\times; ''Y'')\to → ''Z''</math> に対し、射
:<math>\lambda g\colon X\to Z^Y</math>
で次の図式
[[File:ExponentialObject-01.png|center|指数対象の普遍性]]
を[[可換図式|可換]]とするものが一意的に存在するときに言う。ここに現れる射 &<math>\lambda;'' g''</math> を ''<math>g''</math> の[[カリー化]]あるいは転置などという。''<math>\mathbb{C''}</math> の各対象 ''<math>Z''</math> に対して指数対象 ''Z''<supmath>''Z^Y''</supmath> が存在するならば、''<math>Z''</math> を ''Z''<supmath>''Z^Y''</supmath> へ写す函手は、函手 — &<math>-\times; ''Y''</math> の[[右随伴]]となる。この場合、[[射集合]] (hom-set) の間の自然な全単射
:<math>\mathrm{Hom}_{\mathbb{C}}\left(X\times Y,Z\right) \cong \mathrm{Hom}_{\mathbb{C}}\left(X,Z^Y\right)</math>
が取れる。射 ''<math>g''</math> および &<math>\lambda;'' g''</math> が、互いに他の「指数随伴」(''exponential adjoints'') と呼ばれることもある<ref name="Goldblatt">{{cite book | title = Topoi : the categorial analysis of logic | last1 = Goldblatt | first1 = Robert | authorlink = Robert Goldblatt | publisher = [[North-Holland Publishing Company|North-Holland]] | edition = Revised | year = 1984 | page = 72 | chapter = Chapter 3: Arrows instead of epsilon | isbn = 978-0-444-86711-7 | series = Studies in Logic and the Foundations of Mathematics #98}}</ref>。
== 例 ==
| 