[[集合論]]における'''連続体濃度'''（れんぞくたいのうど、{{lang-en-short|''cardinality of the continuum''}}） とは、 しばしば[[連続体 (集合論)|連続体]] {{lang|en|(continuum)}} とも呼ばれる[[実数]]全体の成す[[集合]] '''R''' の[[濃度 (数学)|濃度]]（あるいは基数、 俗に集合の「大きさ」 の尺度） をいう。のこ れはとである。連続体濃度を持った集合を[[ 無限連続体 (集合 論)| 無限連続体]] {{lang|en|(continuum)}} と呼ぶこともある。これは[[濃度 (数学)| 無限濃度]]のひとつであり、|'''R'''|, 2<sup>ℵ <sub>0</sub></sup>（ ℵは[[ヘブライ文字]]のアレフ） , または <math>\mathfrak c</math>（[[フラクトゥール|ドイツ文字]]小文字の ''c''）など の記号で表される。 ▼{{翻訳直後|[[:en:Cardinality of the continuum]] 00:31, 24 August 2011|date=2011年9月}}
▲[[集合論]]における'''連続体濃度'''（れんぞくたいのうど、{{lang-en-short|''cardinality of the continuum''}}）は、しばしば[[連続体 (集合論)|連続体]] {{lang|en|(continuum)}} とも呼ばれる[[実数]]全体の成す[[集合]] '''R''' の[[濃度 (数学)|濃度]]（あるいは基数、俗に「大きさ」）をいう。これは[[無限集合|無限]][[濃度 (数学)|濃度]]のひとつであり、|'''R'''|, ℵ（[[ヘブライ文字]]のアレフ）または <math>\mathfrak c</math>（[[フラクトゥール|ドイツ文字]]小文字の ''c''）などで表される。
== 概要 ==
実数の全体 '''R''' は[[自然数]]の全体 '''N''' よりも多くの元を含む。もっと言えば、'''R''' は '''N''' の冪集合の元と同じ数の元をもつ。記号で表せば、'''N''' の濃度を[[アレフ数#アレフ・ノート| ℵ<sub>0</sub> ]]として、連続体濃度は
:<math>\mathfrak{c} = 2^{\aleph_0} > \aleph_0</math> ▼である。このことは[[ゲオルグ・カントール]]によって、彼の異なる無限の研究の事始めの一部として、[[カントールの最初の非可算性証明|1874年の証明]]で、あるいは後により簡明な[[カントールの対角線論法|対角線論法]]によって、示されている。カントールは[[全単射]]の概念を用いて濃度を定義した。すなわち、「二つの集合が同じ濃度を持つとは、それらの間に全単射が存在することを言う」。
実数の全体 '''R'''は[[自然数]]の全体 '''N''' の[[冪集合]]の元と同じ数の元をもつ。さらに、これらの集合は '''N''' 自身よりも多くの元を含む（[[#連続濃度の非加算性]]節を見よ）。このことは[[ゲオルグ・カントール]]によって1874年に初めて示され、無限の尺度に異なる階層があることを確立した研究の嚆矢となった。後に、カントールはより簡明な[[カントールの対角線論法|対角線論法]]による証明も与えている。
二つの実数 ''a'' < ''b'' の間には、そのふたつがいくら近い値であっても、常に無限に多くの実数が存在し、カントールはそれが実数全体の成す集合が含む実数の数と等しいことを示した。すなわち、[[開区間]] (''a'',''b'') は '''R''' に[[対等 (集合論)|対等]]である。これは他にもいくつかの無限集合、例えば任意次元の[[ユークリッド空間]] '''R'''<sup>''n''</sup> でも同じである（[[空間充填曲線]]を参照）。
連続体濃度を持つ集合には以下のような例がある。二つの異なる実数 ''a'' < ''b'' を取ったとき、これらの値がどんなに近い場合でも、[[開区間]] (''a'',''b'')は '''R''' と同じ濃度の実数が含まれている。また、任意次元の[[ユークリッド空間]] '''R'''<sup>''n''</sup> も '''R''' と同じ濃度を持つ（濃度の演算）。これらのことは以下の式で表される。
: <math>|(a,b)| = |\mathbb{R}| = |\mathbb{R}^n|.</math>
他の例については[[#連続体濃度をもつ集合]]節を参照のこと。
加算濃度 ℵ<sub>0</sub> = |'''N'''| と連続体濃度との間に、これらと異なる濃度が存在するかという問題は、カントールによって[[連続体仮説]]として提起された。[[クルト・ゲーデル|ゲーデル]]および[[ポール・コーエン|コーエン]]の研究によって、連続体仮説自体はその否定も肯定も集合論の標準的な公理系 [[公理的集合論|ZFC]] との間に矛盾を引き起こさないことが示された。詳しくは[[#連続体仮説]]節および[[連続体仮説]]を参照のこと。
最小の無限濃度が ℵ<sub>0</sub>（[[アレフ数#アレフ・ノート|アレフ・ノート]]）で、その次に大きな無限濃度を ℵ<sub>1</sub>（[[アレフ数#アレフ・ワン|アレフ・ワン]]）というが、ℵ<sub>0</sub> と ℵ の間に真に挟まれる濃度は存在しないという[[連続体仮説]]は、すなわち
: <math>\aleph = \aleph_1</math>
であることを意味する。
== 性質 ==
=== 非可算性 ===
[[ゲオルク・カントール]]が[[濃度 (数学)|濃度]]の概念を無限集合の大きさを比較するために導入し、実数全体の成す集合が[[非可算無限]]である（すなわち、[[自然数]]全体の成す集合の濃度よりも真に大きい）ことを示した：
: <math>\aleph_0 < \mathfrak{c}.</math> ▼ここで、「自然数」のところを「[[整数]]」と言い換えてもよい。カントールはこのことをいくつか違った方法で示している。[[カントールの最初の非可算性証明]]や[[カントールの対角線論法]]を参照。
=== 連続体濃度についての関係式非加算性 ===
カントールの対角線論法の一種を使うと、「任意の集合に対して、その冪集合のほうが濃度が真に大きい： |''A''| < 2<sup>|''A''|</sup>」という[[カントールの定理]]が示せる。従って、[[自然数]]全体の成す集合 '''N''' の冪集合 ''P''('''N''') は非可算である。実は、''P''('''N''') の濃度が連続体濃度 ℵ に等しいことが示せる。 ▼# 実数全体から[[有理数]]全体の成す集合の冪集合への写像 ''f'': '''R''' → ''P''('''Q''') を任意の実数 ''x'' に対し、それよりも小さい有理数全体のなす集合 {''q'' ∈ '''Q''' | ''q'' ≤ ''x''} を対応付けるものとして定める（これは実数を有理数の[[デデキント切断]]として捉えれば、有理数からなる集合全体の成す集合族における[[包含写像]]に他ならない）。この写像は、有理数全体の成す集合 '''Q''' が '''R''' において[[稠密集合|稠密]]であることから[[単射]]である。有理数全体の成す集合 '''Q''' は可算であったから、ℵ ≤ 2<sup>ℵ<sub>0</sub></sup> を得る。 ▼# 各項が集合 {0, 2} に値をとる無限列全体の成す集合 {0, 2}<sup>'''N'''</sup> を考える。この集合の濃度は明らかに 2<sup>ℵ<sub>0</sub></sup> である（このような二値数列の全体と冪集合 ''P''('''N''') との間の自然な[[全単射]]は[[指示函数]]を考えることで与えられる）。いま、このような二値数列 (''a''<sub>''i''</sub>) に対して、[[単位区間|単位閉区間]] [0, 1] に属する実数で、その[[三進展開]]の数字の並びから作った数列が (''a''<sub>''i''</sub>) となるようなもの（つまり、小数点以下第 ''i''-位の数字が ''a''<sub>''i''</sub> であるような実数）が一意に定まるので、これを対応させる。この写像の像を[[カントール集合]]と呼ぶ。この写像が単射であることを示すのは（実数の三進展開が一意ではないという事実を利用して、展開に 1 が現れるのを避ける必要がある点を除いて）難しくない。故に 2<sup>ℵ<sub>0</sub></sup> ≤ ℵ が分かる。 ▼# 以上から、[[カントール＝ベルンシュタイン＝シュレーダーの定理]]により ℵ = |''P''('''N''')| = 2<sup>ℵ<sub>0</sub></sup> が帰結される。
▲カントールの対角線論法 の一種を使うとにより、「任意の集合に対して、その冪集合のほうが濃度が真に大きい： |''A''| < 2<sup>|''A''|</sup>」という[[カントールの定理]]が示 せされる。 従したがって、[[自然数]]全体の成す集合 '''N''' の冪集合 ''P''('''N''') は非可算である。 実はさらに、以下のような議論により、''P''('''N''') の濃度 がは連続体濃度 ℵ に等しいことが示せる。
もちろん、{0,1}<sup>'''N'''</sup> から '''R''' への全単射を直接構成することによっても、ℵ = 2<sup>ℵ<sub>0</sub></sup> の別証明を与えることができる。[[カントールの対角線論法]]も参照。 ▼
▲# 実数全体から[[有理数]]全体の成す集合の冪集合への写像 ''f'': '''R''' → ''P''('''Q''') を 、任意の実数 ''x'' に対し 、それよりも小さい有理数全体のなす集合 {''q'' ∈ '''Q''' | ''q'' ≤ ''x''} を対応付けるものとして定める （。これは 、実数を有理数の[[デデキント切断]]として 捉えれば定義すると言う立場からは、 本質的には<!-- 有理数 からなを表す切断については2種類の切断を同一視する と言う立場もあるので -->、有理数の集合 全体の 成す冪集合 族における[[への包含写像 ]]だということに 他な らない）る。この写像は、有理数全体の成す集合 '''Q''' が '''R''' において[[稠密集合|稠密]]であることから[[単射]]である。有理数全体の成す集合 '''Q''' は可算であったから、 ℵ<math>\mathfrak{c} &\le ; 2 <sup>ℵ<sub>0</sub>^{\aleph_0}</ supmath> を得る。
▲# 各項が 集合 {0 , または2 } にの値をとる無限列全体の成す集合 {0, 2}<sup>'''N'''</sup> を考える。この集合の濃度は明らかに 2<sup>ℵ<sub>0</sub></sup> である（このような二値数列の全体と冪集合 ''P''('''N''') との間の自然な[[全単射]]は[[指示 函関数]]を考えることで与えられる）。いま、このような二値数列 (''a''<sub>''i''</sub>) <sub>''i'' ∈ '''N'''</sub> に対して、[[単位区間|単位閉区間]] [0, 1] に属する実数で、その[[ 位取り記数法|三進展開]]の数字の並びから作った数列が (''a''<sub>''i''</sub>) となるようなもの（つまり、小数点以下第 ''i''-位の数字が ''a''<sub>''i''</sub> であるような実数）が一意に定まるので、これを対応させる。 実数の三進展開表示において一意性がくずれるのは、ある項から先に0が続く場合か2が続く場合のどちらかであることから、この対応は単射写像を定めている（この写像の像を[[カントール集合]]と呼ぶ ）。 この写像が単射であることを示すのは（実数の三進展開が一意ではないという事実を利用し て、展開に 1 たが 現れるのを避ける必要がある点を除いって ）難しくない。故に 2< supmath> ℵ<sub>02^{\aleph_0} \le \mathfrak{c}</ sub></supmath> ≤ ℵ が分かを得る。
以上のふたつから、[[ベルンシュタインの定理]]により <math>\mathfrak{c} = |\mathfrak{P}(\mathbb{N})| = 2^{\aleph_0}</math> が結論できる。特に、連続濃度は加算集合の濃度よりも真に大きいことが従う。
▲もちろん、{0,1}<sup>'''N'''</sup> から '''R''' への全単射を直接構成することによっても、 ℵ<math>\mathfrak{c} = 2 <sup>ℵ<sub>0</sub>^{\aleph_0}</ supmath> の別証明を与えることができる。[[カントールの対角線論法]]も参照 のこと。
上の等式
▲: <math>\mathfrak{c} = 2^{\aleph_0} > \aleph_0</math>
は、
:1/2 = 0.50000..., 1/3 = 0.33333..., π = 3.14159....
などの実数の無限[[十進法|十進小数展開]]（最初の二つは循環小数の例でもある）を用いても説明できる。これらの展開は、整数の集合から { 0, ..., 10 } への写像のうち特別な性質（ある左無限半開区間上で恒等的に 0 となる）を持つものによって表されていると見なすことができる。整数全体の成す集合の濃度は ℵ<sub>0</sub> だから、
:<math>{\mathfrak c} \leq \aleph_0 \cdot 10^{\aleph_0} \leq 2^{\aleph_0} \cdot {(2^4)}^{\aleph_0} = 2^{ \aleph_0 + 4 \cdot \aleph_0} = 2^{\aleph_0} </math> ▼を得る。ここで ℵ<sub>0</sub> + 4 ℵ<sub>0</sub> = ℵ<sub>0</sub> を用いた。他方、2 = {0, 1} を例えば {3, 7} に移すことにし、十進小数展開に 3 か 7 しか現れないような実数のみを考えれば、 ▼▲: <math> 2^{\aleph_0 } <\leq {\mathfrak { c} .</math>
となることがわかるから、 従ベルンシュタインの定理によって 表式を得る。▼
== 連続体濃度についての関係式 ==
濃度の等式
: <math>\mathfrak{c}^2 = \mathfrak{c}</math>
は[[濃度 (数学)#基数の演算|濃度の算術]] {{lang|en|(cardinal arithmetic)}} を用いれば
:<math>\mathfrak{c}^2 = (2^{\aleph_0})^2 = 2^{2\times{\aleph_0}} = 2^{\aleph_0} = \mathfrak{c}</math>
と示すことができるが、二つの二進列に対する「挿入演算」{{lang|en|(interleaving)}} の一種を考えれば直接的に示すこともできる。実数 ''x'', ''y'' の二進展開を
は ''x'', ''y'' が一意的に二進展開可能であるとき[[well-defined|矛盾無く定義される]]。二進展開が一意でないような実数は可算無限個しかない。
濃度算術におけるいくつかの法則を用いるならばて、''n'' をが 2 以上の有限濃度のとして、き
:<math>\mathfrak c^{\aleph_0} = {\aleph_0}^{\aleph_0} = n^{\aleph_0} = \mathfrak c^n = \aleph_0 \mathfrak c = n \mathfrak c = \mathfrak c</math>
が成り立つことがわかる。また
: <math>2^\mathfrak{c} = |\mathfrak{P}(\mathbb{R})|,\quad 2^\mathfrak{c} > \mathfrak{c}</math>
である。
任意の実数が無限[[十進小数展開]]をもつこと、例えば
:1/2 = 0.50000...
:1/3 = 0.33333...
:<math>\pi</math> = 3.14159....
（最初の二つは循環小数の例でもある）となることを用いても同じ等式が証明できる。いずれの展開も、現れる各位の数字の全体は[[自然数]]全体の成す集合と[[一対一対応]]を付けることができる（要するに、例えば π の小数点以下第一位の数字とか第百位の数字とか第百万位の数字とか、そういう指定ができる）から[[可算集合|可算]]であり、自然数全体の成す集合の濃度が <math>\aleph_0</math> だから、各実数の展開に現れる数字の数は <math>\aleph_0</math> 個である。
各実数は整数部と十進小数部に分けることができるから、
▲:<math>{\mathfrak c} \leq \aleph_0 \cdot 10^{\aleph_0} \leq 2^{\aleph_0} \cdot {(2^4)}^{\aleph_0} = 2^{\aleph_0 + 4 \cdot \aleph_0} = 2^{\aleph_0} </math>
▲を得る。ここで ℵ<sub>0</sub> + 4 ℵ<sub>0</sub> = ℵ<sub>0</sub> を用いた。他方、2 = {0, 1} を例えば {3, 7} に移すことにし、十進小数展開に 3 か 7 しか現れないような実数のみを考えれば、
:<math>2^{\aleph_0} \leq {\mathfrak c}</math>
:<math>{\mathfrak c} = 2^{\aleph_0}</math>
を得る。
== ベート数 ==
<!--{{main|ベート数}}-->
'''ベート数'''は
: <math>\beth_0 = \aleph_0,\quad \beth_{k+1} = 2^{\beth_k}</math>
として再帰的に定められる列に属する濃度の総称である。故にこの意味で連続体濃度は二番目のベート数
:<math>\beth_1=\mathfrak{c}</math>
であとなる。そしてその次のベート数は '''R''' の冪集合（すなわち、[[実数直線]]の部分集合全体の成す集合）の濃度
:<math>\beth_2 = 2^{\mathfrak{c}}</math>
である。
{{main|連続体仮説}}
カントールによく知らって提唱されるた連続体仮説とは、連続体濃度 ℵ<math>\mathfrak{c}</math> が二番目の[[アレフ数]] ℵ<sub>1</sub> であることを主張するものである。これは 、ℵ<sub>0</sub> と ℵ <math>\mathfrak{c}</math>との間に真に挟まれる濃度を持つ集合 ''A'' は存在しない：
:<math>\nexists A: \aleph_0 < |A| < \alephmathfrak{c}</math>
と言い換えることもできる。現在ではこの言明は[[公理的集合論|ツェルメロ＝フレンケル集合論の公理系]]に[[選択公理]]を付け加えた公理系 (ZFC) からは独立であることが知られている。すなわち、ZFC に連続体仮説を付け加えた体系も ZFC に連続体仮説の否定を付け加えた体系も、いずれも (ZFC が無矛盾ならば) 無矛盾である。
実は、0 でない任意の[[自然数]] ''n'' に対し、等式 ℵ<math>\mathfrak{c} = ℵ<sub>''n''\aleph_n</submath> は ZFC と独立である（''n'' = 1 の場合が連続体仮説）。他の多くのアレフ数に対しても同様のことが言えるが、一部のアレフ数については[[共終性]]に基づく[[ケーニヒの定理 (集合論)|ケーニヒの定理]]によって除外される（例えば ℵ<math>\mathfrak{c} ≠\neq ℵ<sub>&\aleph_\omega;</submath> が成り立つ）。特に ℵ<math>\mathfrak{c}</math> は ℵ<sub>1</sub> にも ℵ<sub>ω<sub>1</sub></sub> にも成り得る。ただし、（ω<sub>1</sub> は[[最小の非可算順序数]]である）。従って、連続体濃度 ℵ<math>\mathfrak{c}</math> は[[後続基数]]にも[[極限基数]]にも成り得るし、[[正則基数]]にも[[特異基数]]にも成り得る。
== 連続体濃度をもつ集合 ==
数学において研究されている連続体濃度を持つ集合は非常に多く存在す数学の様々な分野で表れる。い以下によくつか知られた例を挙げる。
* '''R''': [[実数]]全体の成す集合。
* '''R''' における任意の[[退化 (数学)|非退化]]な[[閉区間]]あるいは[[開区間]]。たとえば[[単位区間]] [0,1] 等など。
* '''P''': [[無理数]]全体の成す集合。
* '''T''': [[超越数]]全体の成す集合。
* ''C'': [[カントール集合]]。
* '''R'''<sup>''n''</sup>: ''n''-次元[[ユークリッド空間]]。
* '''C''': [[複素数]]全体の成す集合。
* 2<sup>''' RQ'''< /supsub> : '' 'R'p'' </sub>: の部分集合に対する[[ 指示函p進数]]全体の成す集合。 ▼* ''P''('''N'''): [[自然数]]全体の成す集合 '''N''' の冪集合。
* '''Z'''<sup>'''N'''</sup>: 整数列（すなわち '''N''' から '''Z''' への写像）全体の成す集合。
* ''P''('''R'''): '''R''' の部分集合全体からなる集合（[[冪集合]]）。
▲* 2<sup>'''R'''</sup>: '''R''' の部分集合に対する[[指示函数]]全体の成す集合。
** 指示函数をその元が部分集合に属すかどうかを決めるものとみなせば、自然に ''P''('''R''') = 2<sup>'''R'''</sup> と見なせる。
* '''R'''<sup>'''R'''</sup>: 実変数実数値の函数 '''R''' → '''R''' の全体の成す集合
* <math>\mathfrak{M}_\mathbb{R}</math>: '''R''' 上の[[ルベーグ集合族]]、すなわち'''R''' の[[ルベーグ可測]]集合全体の成す集合。
== 参考文献 ==
*[[ {{cite book|first=Paul |last=Halmos]], ''|title=Naive set theory''.|location= Princeton,New NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted byYork|publisher= Springer-Verlag, New York,|origyear= 1960|year=1974. ISBN|isbn= 0-387-90092-6}} (Springer-Verlagoriginally from D. editionVan Nostrand Company Princeton, NJ).
*[[ {{cite book|first=Thomas|last= Jech|Jech, Thomas]], year=2003. ''|title=Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded''. |publisher=Springer. ISBN|isbn= 3-540-44085-2.}}
*[[ {{cite book|first=Kenneth|last= Kunen|Kunen, Kenneth]],year= 1980.|title= ''Set Theory: An Introduction to Independence Proofs''.|publisher= Elsevier. ISBN|isbn= 0-444-86839-9.}}
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