「C*-環」の版間の差分

'''C^*環'''（シースターかん)(あるいは'''C^*代数'''（シースターだいすう))(C^*-algebra)とは[[作用素環]]の一分野。種で、作用素環の理論においては[[フォン・ノイマン環]]と並ぶ主要な研究テーマである。[[数理物理]]においては[[力学系]],代数的観点による[[場の量子論]],[[量子統計力学]],[[量子情報理論]]等に応用される。

集合 ''A'' は次の条件を満たすとき'''C^*環''' とは以下のように定義さ呼ばれる[[作用素環]] ''A'' のことである。

*: [[コンパクト (数学)|コンパクト]][[ハウスドルフ空間]]&Omega;上の複素数値連続関数のなす[[関数空間]]''C''(&Omega;)(例えば''C''([0,1]))を考える。このとき、積を各点での積：''f・g''（s）=''f''（s）''g''（s）,対合を複素共役：''f''^*(s)=<span style="text-decoration:overline">''f''</span> （s）,ノルムをスープ・ノルム：||''f''||=sup{|''f''(s)| ;s &isin; &Omega;}で定めると、''C''(&Omega;)は定数関数1を[[単位元]]としてもつ可換なC^*環となる。逆に、単位元をもち可換なC^*環はあるコンパクトハウスドルフ空間&Omega;についての''C''(&Omega;)と[[同型]]になる（Gelfand-Naimarkの定理）。

*:同様にして[[コンパクト (数学)|局所コンパクト]][[ハウスドルフ空間]]&Omega;上の無限遠で消える複素数値連続関数のなす関数空間''C''_o(&Omega;)={''f''&isin;''C''(&Omega;) ; 任意の&epsilon;>0に対して|''f''(s)| &ge; &epsilon;となるs&isin;&Omega; のなす集合はコンパクト}(例えば''C''_o('''R'''),'''R'''は実数)を考えると、上の例と同様のノルムと対合によって''C''_o(&Omega;)は（&Omega;がコンパクトでないときには単位元をもたない）可換なC^*環となる。

*:[[ヒルベルト空間]]''H''上の有界線形作用素のなす代数''B''(''H'')はノルムを作用素ノルム：||''A''||=sup{||''Ax''||/||''x''|| ; ''x''(&ne; 0 ) &isin; ''H''}、対合を[[共役作用素]]''A''^*：(''A''^*''x'',''y'')=(''x'',''Ay'')、単位元を''H''上の恒等作用素''I''を単位元としてもつC^*環である。

*:同様にして''B''(''H'')の部分*-代数''M''が作用素ノルムで閉じているとき、''M''はC^*環である。これを'''具体的なC^*環'''(concrete C^*-algebra)という。実は任意のC^*環はある具体的なC^*環と同型になる。