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2013年10月26日 (土) 13:31時点における版

非線形制御（ひせんけいせいぎょ、英: Nonlinear control）は、非線形または時変（英語版）のシステム、あるいは両方に特に関連した制御工学の分野である。

多くの確立した解析および設計技術が、線形時不変系（LTIシステム）に存在する。（例えば根軌跡（英語版）、ボード線図、ナイキスト安定判別法（英語版）、状態フィードバック、極配置（英語版）。）しかしながら、一般的な制御システムにある制御器と制御対象の一方あるいは両方は、LTIシステムでない可能性がある。したがって、これらの方法は必ずしも直接適用することができない。非線形制御理論は、これらの一般的な制御システムに、既存の線形システムでの手法をどのように適用するかを研究する。さらに、非線形制御理論は、LTIシステム理論を使用して解析することができない新しい制御方法を提供する。 LTIシステム理論を制御器の解析と設計に使用することができる場合であっても、非線形制御器が魅力的な特性となることがある。（例えば、より単純な実装、より高速な動作、より少ない制御電力といった特性。）

非線形制御理論を証明するためには、厳密な解析学が必要となることが多い。

非線形システムの特性

非線形動的システムの特性は以下の通り。

重ね合わせの原理（線形性と均質）に従わない。
多数の分離された均衡点が存在する可能性がある。
リミットサイクル、分岐、カオスのような特性を示す場合がある。
有限の逃避時間 (escape time): 非線形システムの解が常に存在するとは限らない。

詳細は「非線形システム論」を参照

非線形システムの解析と制御

十分に発達したいくつかの非線形フィードバックシステムの解析手法がある:

非線形システムのための制御設計技術も存在する。この方法は、特定の限られた範囲を線形システムとして扱うことを試みる技術と細分化することができる:

ゲイン・スケジューリング（英語版）

システムを線形として扱い制御設計を行えるように、補助的な非線形フィードバックを導入することを試みる方法:

フィードバック線形化（英語版）

リャプノフに基づいた方法:

非線形フィードバック解析 ? Lur'e の問題

Lur'e problem block diagram

An early nonlinear feedback system analysis problem was formulated by A. I. Lur'e. Control systems described by the Lur'e problem have a forward path that is linear and time-invariant, and a feedback path that contains a memory-less, possibly time-varying, static nonlinearity.

The linear part can be characterized by four matrices (A,B,C,D), while the nonlinear part is Φ(y) with ${\frac {\Phi (y)}{y}}\in [a,b],\quad a<b\quad \forall y$ (a sector nonlinearity).

絶対安定問題

Consider:

(A,B) is controllable and (C,A) is observable
two real numbers a, b with a<b, defining a sector for function Φ

The problem is to derive conditions involving only the transfer matrix H(s) and {a,b} such that x=0 is a globally uniformly asymptotically stable equilibrium of the system. This is known as the Lur'e problem. There are two well-known wrong conjections on absolute stability:

The Aizerman's conjecture（英語版）
The Kalman's conjecture（英語版）.

There are counterexamples to Aizerman's and Kalman's conjectures such that nonlinearity belongs to the sector of linear stability and unique stable equilibrium coexists with a stable periodic solution -- hidden oscillation（英語版）.

There are two main theorems concerning the problem:

The Circle criterion（英語版）
The ポポフ（英語版） criterion.

which give sufficient conditions of absolute stability.

ポポフの判定法

The sub-class of Lur'e systems studied by ポポフ（英語版） is described by:

${\begin{matrix}{\dot {x}}&=&Ax+bu\\{\dot {\xi }}&=&u\\y&=&cx+d\xi \quad (1)\end{matrix}}$

${\begin{matrix}u=-\phi (y)\quad (2)\end{matrix}}$

where x ∈ Rⁿ, ξ,u,y are scalars and A,b,c,d have commensurate dimensions. The nonlinear element Φ: R → R is a time-invariant nonlinearity belonging to open sector (0, ∞). This means that

Φ(0) = 0, y Φ(y) > 0, ∀ y ≠ 0;

The transfer function from u to y is given by

H(s)={\frac {d}{s}}+c(sI-A)^{-1}b\quad \quad

Theorem: Consider the system (1)-(2) and suppose

A is Hurwitz
(A,b) is controllable
(A,c) is observable
d>0 and
Φ ∈ (0,∞)

then the system is globally asymptotically stable if there exists a number r>0 such that
inf_{ω ∈ R} Re[(1+jωr)h(jω)] > 0 .

Things to be noted:

The Popov criterion is applicable only to autonomous systems
The system studied by Popov has a pole at the origin and there is no direct pass-through from input to output
The nonlinearity Φ must satisfy an open sector condition

非線形制御での理論

フロベーニウス定理

The フロベーニウス定理（英語版） is a deep result（英語版） in Differential Geometry. When applied to Nonlinear Control, it says the following: Given a system of the form

${\dot {x}}=\sum _{i=1}^{k}f_{i}(x)u_{i}(t)\,$

where $x\in R^{n}$ , $f_{1},\dots ,f_{k}$ are vector fields belonging to a distribution $\Delta$ and $u_{i}(t)$ are control functions, the integral curves of $x$ are restricted to a manifold of dimension $m$ if span( $\Delta )=m$ and $\Delta$ is an involutive distribution.

参考文献

^ ^a ^b 信州大師玉教授. “非線形制御理論”. 2013年10月26日閲覧。
^ モノイスト. “独学！機械設計者のための自動制御入門”. 2013年10月26日閲覧。
^ 東北大岩熊教授. “1自由度系の非線形振動”. 2013年10月26日閲覧。