「周長」の版間の差分

'''周長'''（しゅうちょう）は単純[[閉曲線]]1周分の始点から終点までの[[長さ]]であり、[[ペリメーター]] (''perimeter'') の[[同義語]]とされることもある。[[多角形]]の周長は計算できるが、[[円 (数学)|円]]の周長は[[円周率]]が[[無理数]]であるため式は簡素でも厳密な値を求めることはできず、[[楕円]]の周長は[[初等関数]]では表すことができないことが知られている。

多角形の周長は、各[[辺]]の長さの[[総和]]が多角形の周長に等しくなるい。特に、一辺が ''aである'' の正 ''n'' 角形の周長は ''na'' で表されある。一般に周長が等しい多角形どうしの[[面積]]はそれぞれ異なるが、[[図形の相似|相似]]で周長も等しい2つの図正 ''n'' 角形は、互いに[[合同]]であるので面積も等しくなる。

円の周長 ''c'' は[[直径]]を ''d''、[[円周率]]を {{π}} とおくすると

と表される。[[半径]]を ''r'' として

と表される場合も多い。なお、全ての円は互いに[[相似]]であるので、周長の等しい2つの円の面積 ''S'' は等しい。つまり''Sを'' は ''c'' を使っ用いて

半径 ''r''、中心角 ''θ(''（[[ラジアン|radラジアン]]）(0 < ''θ'' < 2{{π}}) の[[扇形]]の周長 ''l'' は以下次の式で表される。

{{Indent|:''l'' = ''rθ'' + 2r2''r'' <nowiki>=</nowiki> ''r''(''θ'' + 2)　0<θ<2π}}

[[アステロイド (曲線)|アステロイド]]（星芒形）x）''x'' = acos<{{sup>|3</sup>θ}} ''θ'', ''y'' = asin<{{sup>|3</sup>}} ''θ'' の周長は6a 6''a''。

[[カージオイド]]（心臓形）x）''x'' = ''a''(1 + cosθcos ''θ'')cosθcos ''θ'', ''y'' = ''a''(1 + cosθcos ''θ'')sinθsin ''θ'' の周長は8a 8''a''。

[[楕円]] ''x<''{{sup>|2</sup>}}/''a<''{{sup>|2</sup>}} + ''y<''{{sup>|2</sup>}}/''b<''{{sup>|2</sup>}} = 1 の周長lは[[長軸]]と[[短軸]]の長さ (=2a 2''a'',2b 2''b'') のみで決まるが、正確な周長は[[楕円積分#第二種完全楕円積分|第二種完全楕円積分]]によって求めなければならない。以下に求め方の一例を示す。

{{Indent|:<math>l = 4a \int_{0}int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1-k^2 \sin^2 t} dt = 2\pi a \left[ 1-\sum_{n=1}^\infty \frac{k^{2n}}{2n-1} \left\{ \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} \right\}^2 \right] ,\left( k=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}} \right)</math>}}

{{Indent|:<math>\oint_{C}oint_C</math>}}

* [[ペリメーター]]

* [[円周 (数学)]]

* [[楕円積分]]

* [[レムニスケート周率]]