「コンパクト化」の版間の差分
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#<math>i(X)</math> が <math>K</math> で[[稠密]]。
を満たすとき <math>(i,K)</math> を <math>X</math> の'''コンパクト化'''という。
位相空間 <math>X</math> のコンパクト化 <math>(i,K)</math> に対し、<math>K\setminus i(X)</math> をコンパクト化 <math>(i,K)</math> の無限遠境界、無限遠境界上の点を無限遠点という。
位相空間 <math>X</math> のコンパクト化 <math>(i,K)</math> に対し、<math>X</math> と <math>Y</math> が共に[[ハウスドルフ空間|ハウスドルフ]]であるとき、コンパクト化 <math>(i,Y)</math> は'''ハウスドルフ'''であるという。
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*任意の（ <math>X</math> の）ハウスドルフなコンパクト化 <math>(j,K)</math> に対し、ある連続写像 <math>j^*:K\to X^*</math> が唯一存在して <math>i=j^*\circ j</math> 。
この条件を満たすハウスドルフなコンパクト化はアレキサンドロフの一点コンパクト化と同値になる。
=== 一点コンパクト化の例 ===
* n次元[[ユークリッド空間]] <math>\mathbb{R}^n</math> の一点コンパクト化は、n次元球面 <math>\mathbb{S}^n</math> と同相である。特に[[リーマン面]] <math>\hat{\mathbb{C}}</math> は[[複素平面]] <math>\mathbb{C}</math> の一点コンパクト化として与えられる。
* 自然数全体（離散位相） <math>\mathbb{N}</math> の一点コンパクト化は <math>\mathbb{N}</math> に最大元 <math>\omega</math> を付け加えた順序集合 <math>\mathbb{N}\cup\{\omega\}</math> の順序位相と同相になる。
== ストーン・チェックのコンパクト化 ==
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== ウォールマンのコンパクト化 ==
[[分離公理#分離公理|T<sub>1</sub>]]空間
=== ウォールマンのコンパクト化の構成 ===
T<sub>1</sub>空間 <math>X</math> に対し<math>\mathcal{F}</math> を <math>X</math> 上の空でない閉部分集合全体とし、[[包含関係]]で自然に順序を入れる。
このとき <math>\omega X</math> を <math>\mathcal{F}</math> 上の[[フィルター (数学)|超フィルター]]全体とする。
今 <math>X</math> の閉部分集合 <math>C</math> に対し、 <math>\omega C\subseteq\omega X</math> を <math>\omega C:=\{\mu\in\omega X\colon C\in\mu\}</math> と定義し、 <math>\omega\mathcal{F}:=\{\omega C\colon C\in\mathcal{F}\}</math> とする。
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<math>X</math> がチコノフ空間のとき上記の <math>\mathcal{F}</math> を閉集合ではなく[[:en:zero set|ゼロ集合]]（実連続関数の一点の逆像となる集合）全体とするとストーン・チェックのコンパクト化になる。
▲実は<math>X</math> 正規ハウスドルフ空間のときはウォールマンのコンパクト化はストーン・チェックのコンパクト化を与える。
== 関数空間とコンパクト化 ==
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さらに関数空間によるストーン・チェックのコンパクト化の構成と同様の議論により <math>\overline{i^*(X)}</math> はコンパクトでありしかも <math>K</math> と同相。
以上のことからハウスドルフなコンパクト化は関数空間を適切に制限することで関数空間によるストーン・チェックのコンパクト化の構成と同様の方法で与えることが出来る。
この方法は種々のコンパクト化を構成する上で基本的な方法論となっている。
== 様々なコンパクト化 ==
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